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2025-2026学年无锡市锡山高级中学锡西分校高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是( )
A. B. C. D.
4.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则当时，函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.已知，都是锐角，，则( )
A. B. C. D.
7.设是的重心，且满足等式，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列函数中，最小值是的函数有( )
A. B.
C. D.
10.已知平面向量，，则( )
A. 若，则
B. 若，则与的夹角为或锐角
C. 若为任意非零向量，则存在实数，使得
D. 若在上的投影向量为，则或
11.已知定义域在上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，则下列说法正确的有( )
A. B. 当时，
C. 是的极小值点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值： ______．
13.如图，在中，为边上一点，且，为上一点，且满足，则的最小值为______．
14.已知，为定义域为的函数，其中为奇函数，为偶函数，下列命题正确的序号是______．
存在，使得恒成立；
使得恒成立的存在且唯一；
使得恒成立的，存在且唯一；
满足当时，恒成立的有无穷多个．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
已知，求的值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，三角形面积为，若为边上一点，满足，，且．
求角；
求的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数满足，且有最小值．
求的解析式；
在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围；
设当时，函数的最小值为，求的解析式．
18.本小题分
已知函数．
求证：在上单调递增；
若是奇函数．
求的值；
若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
若，判断的零点个数并证明；
若对任意，，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；；

16.解：因为，
所以，即，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
可得；
在中，因为，，
所以，
由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，整理得，
因为，
所以，
所以，可得的取值范围是．
17.；
；

18.证明：任取实数，满足，
则，
，，又，，
即，故在上单调递增；
；
19.解：当时，函数，则．
因为函数是增函数，且，
所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
因此函数在处取得极小值，极小值为，无极大值．
证明：当时，．
因为，所以．
令，则，
因此当时，，则；当时，，则，
所以，因此函数在上单调递增．
又因为，，而函数在上单调递增，
所以函数存在唯一的零点，，使得，
因此时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，
因此
因为函数在上单调递减，，且，所以函数在上存在唯一的零点．
因为函数在上单调递减，，所以，
而，
因此由函数在上单调递增知：函数在上存在唯一的零点，
综上所述，函数在上有且仅有两个零点；
当时，因为，所以，，，
因此，满足题意．
当时，，令，
因此．
因为，所以，，，，
因此，所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增．
又因为，
所以：当时，，而函数在上单调递增，因此，
所以函数在上单调递增，而，因此，满足题意．
当时，，而由，得：
因此由函数在上单调递增知：存在唯一的，使得，
所以当时，，函数在上单调递减，
因此，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围是．
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