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湖南省天壹名校联盟2026届高三9月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设复数，，其中，，若是虚数，则( )
A. B. C. D.
4.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则与相交
5.在中，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则( )
A. B. C. D.
7.债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性，一种常用的债券现值计算公式为，其中为债券现值，表示债券的期限单位：年，为第年的利息，为年后的债券面值，为贴现率若，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，圆，直线，，则( )
A. 与不可能垂直
B. 若，则与圆相切
C. 若，则与圆相交
D. 若圆与圆无交点，则
10.已知函数的定义域为，且，，则( )
A. B.
C. 是偶函数 D. 是奇函数
11.在直角坐标系中，曲线，则下列结论正确的是( )
A. 与轴无交点 B. 关于直线对称
C. 若点在上，则 D. 若曲线与有公共点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若，则实数 ．
13.记数列的前项之积为，已知，且，则 ．
14.已知函数的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求图象的对称轴方程
在中，，的周长为，且，求．
16.本小题分
在数列中，，．
求的通项公式
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为，最小值为．
求圆的方程．
点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点，为定值．
(ⅰ)求点的坐标
(ⅱ)点，求的最小值．
18.本小题分
已知函数，
求曲线在点处的切线方程
若有两个极值点，求的取值范围
若，实数，满足，，试比较和的大小．
19.本小题分
如图，将，，，四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形，其中，，连接，，过点作平面，满足，．
证明：．
若，，且．
(ⅰ)求到平面的距离与到平面的距离的平方和
(ⅱ)求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
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14.
15.解：由题意可得，
故，
故，
令，可得图象的对称轴方程为，
由得，
又，
所以，
因为，
所以，
设，则，
由余弦定理可得，
即，化简得，
解得，即，
故BC．
16.解：因为，所以，
又，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以．
由可知，
所以，
，
，得，
即，
故．
17.解：圆的最长弦为直径，所以，得．
最短弦为与直径垂直的弦，可得，又，所以．
故圆的方程为．
设，，则，
因为点在圆上，所以将代入上式，得，
因为该式的值为常数，所以，解得舍去，所以点的坐标为．
由可知，所以．
所以，
易知，，当点在线段上时等号成立，
故的最小值为，即原式的最小值为．
18.解：，
则，，故所求的切线方程为．
记，则，
因为有两个极值点，所以有两个零点．
若，则，单调递增，不符合题意．
若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
又当或时，都有，
故只需，得，
即的取值范围是
由，得，整理得．
由，
得，解得
所以．
设函数，则，
所以在上单调递减，所以，
又，所以，即．
19.解：取的中点，连接，，
因为，，为的中点，所以，，
又因为，、平面，所以平面．
又因为平面，所以．
连接，因为，所以，
由知平面，则，，，四点共面，
易证，可得，
在四边形中，，，
根据对称性，可知垂直平分，
因为，，所以在平面内存在点，，使得，，
则，，即平面．
如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的的正方向，建立空间直角坐标系．
设，直线到平面的距离为，到平面的距离为，则，
因为，，所以
解得，，，
故AC到平面的距离与到平面的距离的平方和为．
设平面的法向量为，
则，即，取．
设平面与平面的夹角为，取平面的一个法向量为，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．

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