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2025—2026 学年度上学期 2025 级
9 月月考数学试卷——年级卷
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 A {1, 2, 3}， B { x Z | x2 1} ，则 A ∪ B （ ）
{1} B．{1, 2} C．{0, 1, 2, 3} D． { 1, 0, 1, 2, 3}
x 1,x2 >1
x 1,x2 >1
x 1,x2 >1
x 1,x2 1
集合
M
满足{1，2} M {1，2，3，4，5} ，则集合
M
的个数为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
已知1 a 3 ， -5 b 2 ，则下列结论错．误．的是（ ）
-4 a b 1
C． -15 ab -2
3 a-b 8
D． - 3 a 1
5 b 2
A． a 1 或2 a 4
2 a 4
1 a 2
a 1
某校向 1 班 50 名学生调查对 A，B 两事件的态度，其中有 30 人赞成 A，有 33 人赞成 B，且对 A，B 都不赞成的学生人数比对 A，B 都赞成的学生人数的三分之一多 1 人，则对 A，B 都
赞成的学生人数为( )
A．15 B．18 C．21 D．24
设a R ，则“ a 10 ”是“ 1
a
1 ”的（ ）
10
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知2a b ab(a 0, b 0) ，下列说法正确的是（ ）
ab 的最大值为 8 B． 1
a 1
2
b 2
的最小值为 2
C． a b 有最小值3 D． a2 2a b2 4b 有最大值 4
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
不等式ax2 bx c 0 的解集是 x 1 x 2 ，则下列结论正确的是（ ）
a b 0
a b c 0
c 0
b 0
下列说法不．正．确．的是( )
在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x, y) | xy 0}
方程
x 2 | y 2 | 0 的解集为 2,-2
若 a b 0, c d 0,0 e
f ，则 ac bd
e f
若正数 a, b 满足 a 1 b 1 ，则 a b
a b
下列说法正确的是（ ）
若 x ， y 0 ， x y 2 ，则2x 2y 的最大值为 4
若 x 1 ，则函数 y 3x
3
1
3x 1
的最大值为 1
若 x 0 ， y 0 ， x y xy 3 ，则 xy 的最大值为 1
x2 6
函数 y
的最小值为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
b 2
2025 2025
已知a R ， b R ，若集合 a, ,1 a , a b,0 ，则 a
b 的值为 .
a
命题“ x R ，都有不等式kx2 2kx 1 0 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是
.
已知a 0， b 0， c 0， a 2 ab 9b 2 5c 0 ，则 c
ab
的最小值是 .当 c ab
取最小值
时， m 2 3m a b 1 c 恒成立，则m 的取值范围是 .
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本题满分 13 分）已知 A x | x2 2x 8 0 , B x | x2 ax a2 12 0 .
若 A B A ，求实数 a 的值；
若 A B A ，求实数 a 的取值范围.
16．（本题满分 15 分）设全集U R ，集合 A x a 3 x 2a 1 ， B x x 5 0 ，其中
a R ．
x 1
若“ x A ”是“ x B ”的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围；
若命题“ x A ，使得 x R B ”是假命题，求实数a 的取值范围．
17．（本题满分 15 分）（1）解关于 x 的不等式2x2 a 2 x a 0 ；
（2）若方程2x2 a 2 x a x 1有两个正实数根 x ，x
，求 x2 x1 的最小值.
x1 x2
18．（本题满分 17 分）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为 200 平方米．计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米 4200 元，在四个相同的矩形上
（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米 210 元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米 80 元．
设 AD 长为 x 米，总造价为 S 元，试建立 S 关于 x 的函数关系式；
问：当 x 为何值时 S 最小，并求出这个 S 最小值.
19．（本题满分 17 分）对于四个正数 m、n、p、q ，若满足 mq np ，则称有序数对（m, n）是
（p, q）的“下位序列”．
对于 3、4、8、10，有序数对(3,4)是(8,10)的“下位序列”吗？请简单说明理由；
设 a、b、c、d 均为正数，且（a, b) 是（c, d ) 的“下位序列”，试判断 a c a c 之
b d b d
间的大小关系；
设正整数 n 满足条件：对集合 m 0 m 2025, m N 内的每个 m ，总存在正整数 k ，使得（m, 2025) 是（k, n) 的“下位序列”，且（k, n) 是（m 1, 2026) 的“下位序列”，求正整数 n 的最小值．
高一上学期 9 月月考数学参考答案
— DBCD ACAB 二 ABC BD BC
三 12． -1 13． k | 1 k 0 14． 1， m | m 1或m 4
8．对于A 选项， ab 2a b 2 2ab ，即
2
，故ab 8 ，当且仅当a 2, b 4 时等号成
立，故ab 的最小值为8 ，A 错误；对于B 选项，原式化为 a 1 b 2 2, b
2a a 1
0 ，故
a 1 0 ； a b 0 ，故b 2 0 ；所以
b 2
1
a 1
2
b 2
1
a 1
a 1 2 ，当且仅当a 2, b 4 时
等号成立， B 正确；对于C 选项，原式化为 2 1 1 ，故
b a
a b a b 2 1 2a 1 2 b 3 2 ，当且仅当a 1, b 2 2 时等号成立， C 错


误；对于 D 选项， a2 2a b2 4b (a 1)2 (b 2)2 5 2 a 1 b 2 5 1，当且仅当
a 1
2, b 2
2 时等号成立，故有最小值 1 ，D 错误．故选：B
11． A： 2x 2y 2
2
2
4 ，当且仅当2x 2y 时取等号，即，当且仅当
x y 1 时取等号，因此2x 2y 的最小值为 4，所以本选项说法不正确；B：因为 x 1 ，所以
3
3x 1 0 1 3x 0 ， y 3x 1 1 3x 1 1，因为
3x 1 1 3x
1 3x 1
2

2 ，当且仅当1 3x 1
时取等号，当 x 0 时取等号，所以
1 3x 1 3x
1 3x 1 2 所以 y 3x 1 1 3x 1 1 1，因此本选项正确；C：因为
1 3x
3x 1
1 3x

x 0 ， y 0 ，所以由
x y xy 3 3 xy x y 2 xy 3 xy 1 0 xy 1 0 ， xy 1，当且仅当
x y 1 时取等号，因此本选项正确；
x2 6 2
2
D： y
2
2 2 ，当且仅当 取等
x2 6
号，即 x2 4 2 ，显然该方程无实根，因此上述不等式中等号不成立，即 y 2 ，没
有最小值，因此本选项不正确，故选：BC 14．解：因为a2 ab+9b2 5c=0，即a2+9b2 ab=5c
所以5c=a2+9b2
a 9b
a
1=5，当且仅当
9b，即a=3b时，等号成立，
ab ab 1=b+ a 1≥2 b a
b= a
所以 c 的最小值是 ab
当 c 取最小值时，有
c =1，a=3b，所以c=3b2，
ab ab
2 1 2 1 2 2
所以m 3m≥a+b 3c恒成立等价于m 3m≥3b+b 3b = b +4b，
令f(b)= b2+4b= (b 2)2+4，则原问题转化为m2 3m≥f(b)max，当b=2时，f(b)max=4，
所以m2 3m≥4，解得m≤ 1或m≥4， 所以 m 的取值范围是( ∞, 1]∪[4,+∞).故答案为 1；( ∞, 1]∪[4,+∞).
15．（1） A x∣x2 2x 8 0 2, 4 ．m A B A A B ， B 2, 4 ，
x2 ax a2 12 0 有两实数根-2 和 4，此时 2 4 a , 2 4 a2 12 ，解得 a 2
又m a2 4(a2 12) 0 4 a 4 a 2
（2）m A B A B A
当 B 时， x2 ax a2 12 0 无实数根，
即 a2 4(a2 12) 0 ，解得a 4或a 4 ；
当 B { 2} 时， x2 ax a2 12 0 有两相等实数根 2 ， a2 4(a2 12) 0 ，则a 4 ，符合题意；当 B {4}时， x2 ax a2 12 0 有两相等实数根-4， a2 4(a2 12) 0 ，则 a 4 ，此时 x2 ax a2 12 0 为 x 2 ，则 B { 2} ，不合题意；当 B { 2, 4}时
x2 ax a2 12 0 有两实数根-2 和 4，此时 2 4 a 2 4 a2 12 ，解得 a 2 又
m a2 4(a2 12) 0 4 a 4 a 2
故综合上述， a 4或a 4或a 2 ．
16． （1） B x |1 x 5 ，
m“ x A ”是“ x B ”的必要而不充分条件，
B A
a 3 2a 1
a 3 1 ，解得3 a 4 ，
2a 1 5
即实数a 的取值范围为 a | 3 a 4 ；
（2）若命题“ x A ，使得 x R B ”是假命题，则 A ∩ R B ，
m B x 1 x 5 ， R B {x∣x 1或 x 5}，
①当 A 时， a 3 2a 1，解得a 2 ，
a 3 2a 1
②当 A 时，则 a 3 1
2a 1 5
，无解，
17．（1） 2x2 a 2 x a 0 2x a x 1 0 ，
当a 2 ，即 a 1 时， a x 1 ， 当a 2 ，即 a 1 时，无解，
2 2 2
当a 2 ，即 a 1 时， 1 x a ，
2 2
综上可知：当a 2 时，不等式的解集为 x
x

1 ，当a 2 时，不等式的解集为 ，

当a 2 时，不等式的解集为 x 1 x a .


（2）方程2x2 a 2 x a x 1 有两个正实数根 x , x ，
即2x2 a 3 x a 1 0 有两个正实数根 x , x

Δ (a 3)2 8(a 1) 0

故 x x

a 3 0
2
，解得a 1 ，

1 2
a 1 0 2
x x x2 x2 x x 2 2x x a2 2a 13
所以 2 1 1 2 1 2 1 2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
2 a 1
令t a 1，则t 0 ，故 x2 x1 t 8 2 2 2 6
x1 x2 2 t
当且仅当 t 8 即t 4, a 5 时取得等号，故 x2 x1 的最小值为 6.
2 t
200 x2
x1 x2
18．（1）由题意可得， AM ，且 AM 0 ，则0 x 10 2 ，
4x
200 x2 2
则S 4200x 210 200 x 80 2
4x
4200x2
42000 210x2
400000 10x4 4000x2
x2
4000x2 400000 38000 0 x 10 2
x2
（2）由（1）可知， S 4000x2 400000 38000 2
x2
当且仅当4000x2 400000 时，即 x 时，等号成立，
x2
所以，当 x 米时， Smin 118000元.
38000 118000
19.【答案】解：(1)∵3×10<4×8，∴(3,4)是(8,10)的“下位序列“； (2)∵(a,b)是(c,d)的“下位序列”，∴ad∵a，b，c，d 均为正数，
a+c a
bc ad
a+c a
a+c a
a+c c
故 + b=(b+d)b>0，即 + b>0，∴ + >，同理 + ，
b d b d b d
a+c c
综上所述，< + <；
b d d
(3)由已知得 mn<2025k
(m+1)n>2026k
∵m，n，k 为整数，∴ mn+1≤2025k
mn+n 1≥2026k
∴2025(mn+n 1)≥2025×2026k≥2026(mn+1)，
∴ 4051 ，
2025 m
该式对集合{m|0∴ 4051 ，
2025 2024
∴正整数 n 的最小值为4051.

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