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甘肃省渭源县第一中学2026届高三上学期开学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则的真子集的个数是( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点为，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.抛掷一枚质地均匀的硬币次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有次正面向上”为事件，“三次试验恰有次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是( )
A. 与不互斥 B. 与相互独立
C. 与相互独立 D. 与互斥但不对立
7.已知函数的部分图象如图所示，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选如图，在正方体中，，，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则( )
A. 平面平面 B.
C. D. 平面
10.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口为了解推动出口后的亩收入单位：万元情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则 若随机变量服从正态分布，
A. B. C. D.
11.设是一次随机试验中的两个事件，且，则( )
A. 相互独立 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为 ．
13.若直线是曲线的一条切线，则 ．
14.某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门或门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共有 种用数字作答．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的短轴长为，离心率为过右焦点的动直线与交于，两点，点，在轴上的投影分别为，在的左侧．
求椭圆的方程；
若直线与直线交于点，的面积为求直线的方程．
16.本小题分
已知函数．
若在处的切线斜率为，求；
若恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
正在改变着我们的工作和生活为了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了人，得到如下数据：
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上
本科以下
合计
依据的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？
某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有道题目，甲、乙同时依次作答，道试题作答完毕后比赛结束规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得分；若一人答对而另一人答错，答对的得分，答错的得分比赛结束后，道题的得分之和为该选手的最后总分两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为，乙正确回答每道题的概率为．
求甲的总分为分的概率；
求在甲的总分为分的条件下，乙恰好回答对道题的概率．
参考公式与数据：，其中．
临界值表
18.本小题分
如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在上单调递增，求的取值范围；
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得：，解得：，
故，，，
所以椭圆的方程为．
当直线斜率为时，不符合题意，舍去．
当直线斜率不为时，设直线方程为，设，
联立，得，
易知，则，．
易知，，
所以直线：，直线：，
联立，
所以，
因为，
所以，
解得，
故直线的方程为或．

16.解：因为，
所以，依题意，解得；
因为的定义域为，
又，
所以恒成立，
令，，则，
令，，则，所以在上单调递增，
又，，
所以使得，即，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围为．

17.解：零假设为：的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为的使用情况与学历无关；
当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
，
，
，
比赛结束甲的得分的取值为的概率为：
，
(ⅱ)设“比赛结束后甲总分是分”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
由可得，
，
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对道题的概率为．

18.解：四边形是矩形，，
平面，平面，所以平面，
，平面，平面，所以平面，
，平面平面，平面，平面；
，，即为二面角的平面角，
，
又，平面，
所以平面，作于，因为平面，
所以，又，平面，
所以平面，连结，
所以直线与平面所成角为，
，，所以．
直线与平面所成角的正弦值为；
由得平面，又，所以距离，又由已知可得
，，，所以．

19.解：当时，，，，，
所以曲线在点处的切线方程，即．
因为在上单调递增，所以在区间上恒成立，
所以，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，，
所以，所以单调递增，
，
所以．

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