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广东省广州奥林匹克中学2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. 或 B.
C. D.
2.已知复数，是的共轭复数，则
A. B. C. D.
3.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知成立，函数是减函数，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，是第二象限角，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足，则在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中、是正的常数如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足：，且当时，，那么方程的解的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的棱长为，分别是，的中点，则( )
A. B.
C. 平面 D. 三棱锥的体积为
10.已知函数其中的部分图象如图所示，图像经过点，关于直线对称，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于点中心对称
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为
11.记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造称其为在处的次泰勒多项式来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 在处的次泰勒多项式为
D. 精确到小数点后两位数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.各项均为正数的等比数列中，且，，则等于 ．
13.已知，则等于 ．
14.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、、、外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择现在已知甲选择了号箱，若用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 ； ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
过四棱柱的顶点作截面，其中底面是菱形，．
证明：截面是平行四边形；
已知是正三角形，平面平面，且，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各名，得到如下数据：
性别 锻炼
不经常 经常
女生
男生
依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
从这人中随机选择人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人求第次传球后球在甲手中的概率．
附：
18.本小题分
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．
求的方程；
设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足证明：直线过定点．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的极小值；
当时，，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由得
当时，，
当时，，所以满足时的情况，
所以，
因为，所以；
因为，
所以，所以．

16.【详解】因为平面平面，平面平面，
因为平面平面，所以，同理，
所以四边形是平行四边形；
解法一：设的中点是，连因为底面是菱形，，所以是正三角形，所以
因为面面，是面与面的交线，所以面，
设的中点是，连，所以，所以面所以是与面所成的角， 因为，，，所以，所以．
解法二：设的中点是，连．是正三角形，
，面面，是面与面的交线，且面，面．
，，是正三角形，
建立如图的空间直角坐标系，
则有
而面面，所以面的法向量是，
所以直线与面所成角的正弦值．

17.【详解】，
故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
设从这人中随机选择人，设选到经常锻炼的学生为事件，选到的学生为男生为事件，
则，
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；
设次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，
设，则，
所以，解得：，
所以，其中，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故第次传球后球在甲手中的概率为．

18.【详解】解：设椭圆的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆的方程为：．
，所以，
若过点的直线斜率不存在，直线代入，
可得，，代入方程，可得
，由得到求得方程：
，过点．
若过点的直线斜率存在，设．
联立得，
可得
且
即
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线过定点

19.【详解】当时，，则
令，则，
所以在上单调递增，
又因为，所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
故在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以为函数的极小值点，极小值．
当时，符合题意；
当时，得．
令，
令，
则，令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因为，
所以存在，使得，
且在上，在上，
在单调递增，在单调递减，
又因为，
即当时，单调递增；
所以当时，．
当时，令，
，
则在上单调递增，此时，
故当时，．
所以，
故的取值范围为．

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