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北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 课后巩固
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=（x+2）2-1的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（-2，-1） C．（-2，1） D．（2，-1）
2．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x+1）2-3
C．y=2（x-1）2-3 D．y=2（x-1）2+3
3．若二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点A（-1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
4．二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则点（a,c）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y=-（x-20）2+25，下列叙述正确的是（　　）
A．抛物线有最低点，最低点的坐标是（20，25）
B．抛物线有最高点，最高点的坐标是（-20，25）
C．抛物线有最高点，最高点的坐标是（20，25）
D．抛物线有最低点，最低点的坐标是（-20，25）
7．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx+1和y=ax-b（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
8．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③4ac-b2＞0；④a=b；⑤b+2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．在平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+（n-2m）x+m-n与抛物线y=x2+（4m-6）x+2m-3关于y轴对称，则符合条件的m,n的值为（　　）
A．m=，n= B．m=，n= C．m=0，n=3 D．m=3，n=0
10．已知二次函数y=mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a,p），B（b,p），C（c,q），D（d,q），其中p＜q,下列结论一定不正确的是（　　）
A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c
C．若m＜-1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜-1，则c＜b＜a＜d
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y=x2-2x-8与y轴的交点坐标为 ______．
12．已知二次函数y=（2m-3）x2有最大值，则m取值范围是 ______．
13．已知A（x1，2024），B（x2，2024）是二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上两点，当x=x1+x2时，二次函数的值是 ______．
14．（2025 武侯区模拟）在平面直角坐标系中，已知M（a,b），N（a,2-3a-b）两点，连接MN，设线段MN的长为p,若点M在二次函数y=x2的图象上，则当时，p的取值范围是 ______．
15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列结论中正确的是______.（只填写序号）
①abc＜0；
②a+b+c＞0；
③-3a＜b＜-2a；
④关于x的不等式的解集为0＜x＜2．
三．解答题（共5小题）
16．已知抛物线过点（4，0），顶点为Q，抛物线．
（1）求a的值和点Q的坐标．
（2）求证：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．
17．已知函数y=x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b,c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当-2≤x≤k时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
18．已知二次函数的解析式为：y=x2-2mx+1（m是常数）．
（1）当m=4时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若点（1，p），（-1，q）在函数图象上，求证：pq≤4；
（3）已知函数图象经过点A（-4，y1），B（m+2，y2），C（a,y3），若对于任意的4≤a≤6都满足y1＞y3＞y2，求m的取值范围．
19．如图，A、B为一次函数y=-x+5的图象与二次函数y=x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y=x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）若PH⊥AB于点H，求：PH的最大值．
20．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）与直线L相交于A，B两点，且点A在y轴上．
（1）若A，B两点的坐标分别为（0，2），（3，5）．
（i）求直线L的函数表达式；
（ii）设w=a+b+ab,求w的最大值．
（2）若直线L与x轴，y轴所围成的三角形面积为，抛物线C的顶点在直线L上，且b=3c2-2c+1，求c的值．
北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 课后巩固
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、B 3、B 4、A 5、B 6、C 7、C 8、B 9、D 10、D
二．填空题（共5小题）
11、（0，-8）； 12、m＜； 13、0； 14、＜p≤； 15、①③④；
三．解答题（共5小题）
16、（1）解：∵抛物线过点（4，0），
∴a×42-2×4=0，
∴，
∴抛物线，
∴Q（2，-2）；
（2）证明：将Q（2，-2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，-2），
当x=0时，，
∴（0，-2）在抛物线C2上．
17、解：（1）∵函数y=x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3），
∴c=3，y=x2+bx+3，
将点（6，3）代入可得：3=62+6b+3，解得：b=-6，
∴b=-6，c=3；
（2）y=x2-6x+3=（x-3）2-6，
当0≤x≤4时，
①仅当x=3时，y取得最小值，此时y=（3-3）2-6=-6；
②仅当x=0时，y取得最大值，此时y=（0-3）2-6=3；
3-（-6）=9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）y=x2-6x+3=（x-3）2-6，
当k≤3时，则在-2≤x≤k时，y随x的增大而减小，
∴当x≤k时，y有最小值，最小值为y=k2-6k+3；
当k＞3时，则在-2≤x≤k时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当x=3时，y有最小值，最小值为-6；
综上所述，y的最小值为k2-6k+3或-6．
18、（1）解：当m=4 时，y=x2-8x+1=（x-4）2-15，
∴抛物线的顶点坐标为（4，-15），对称轴为直线x=4；
（2）证明：∵函数图象经过点（1，p），（-1，q），
∴p=1-2m+1=2-2m,q=1+2m+1=2+2m,
∴pq=（2-2m）（2+2m）=4-4m2=4（1-m2），
∵1-m2≤1，
∴pq≤4；
（3）解：∵对于任意的4≤a≤6都满足y1＞y3＞y2，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，当-4＜m+2＜a时，
当A、C两点对称时，，
∵y1＞y3，
∴ m,
∴，
∴m+2＜a＜2m+4，
∴m+2=4或2m+4=6，
∴1＜m＜2；
情况2，如图2，当-4＜a＜m+2时， m,
∴，
∴m＞a+2，
∵4≤a≤6
∴m＞8，
综上所述，1＜m＜2或m＞8．
19、解：（1）当x=0时，y=-x+5=5；当x=4时，y=-x+5=1，则A（0，5），B（4，1），
∴．
∴．
∴．
（2）由（1）可得：y=x2-5x+5，设P（m,m2-5m+5），作PE∥OA，交AB于E，
∴E（m,-m+5），则PE=4m-m2，
∴S△ABP=（4m-m2）×（4-0）=-2（m-2）2+8．
∴当m=2时，最大值为8．
∵AB一定，当三角形的面积最大时，AB边上的高PH最大，且AB==4，
∴此时PH===2．
∴PH的最大值为2．
20、解：（1）（i）由题意，∵直线L过（0，2），
∴可设直线L的函数表达式为y=kx+2．
又∵直线L过（3，5），
∴5=3k+2．
∴k=1．
∴直线L的函数表达式为y=x+2．
（ii）由题意，∵A（0，2），B（3，5）在抛物线上，
∴．
∴b=-3a+1．
∴w=a+b+ab=a+（-3a+1）+a（-3a+1）
=a-3a+1-3a2+a
=-3a2-a+1
=-3（a+）2+．
∵-3＜0，
∴当a=-时，w=a+b+ab取最大值为．
（2）由题意，可设直线L为y=mx+c,
∴直线L与x轴的交点B为（-，0）．
又∵与y轴的交点A为（0，c），
∴直线L与坐标轴围成三角形的面积为|c （-）|=．
∴||=．
∴m=±c2．
又∵抛物线的顶点在直线L上，
∴点（-，）在直线L上．
∴=-m+c=．
∴b2=2bm.
∴b=2m或b=0（舍去，不合题意）．
∴b=±3c2．
又∵b=3c2-2c+1，
∴3c2-2c+1=±3c2．
∴c=（当3c2-2c+1=-3c2时，无解）．
综上，c=．

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