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北师大版九年级下 2.5 二次函数与一元二次方程 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若三个方程-2（x+3）（x-2）=5，-3（x+3）（x-2）=5，-4（x+3）（x-2）=5的正根分别记为x1，x2，x3，则下列判断正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
3．对于二次函数y=-（x-1）2+4，下列说法不正确的是（　　）
A．当x=1时，y有最大值3
B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下
D．函数图象与x轴交于点（-1，0）和（3，0）
4．（2022 南海区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m=0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x2＜2＜x1，那么实数m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m＞2 C．m＜-2 D．m＞-2
5．已知抛物线y=x2-3mx+m+n,要达到对所有的实数m,抛物线都与x轴有交点，则n必须满足（　　）
A．n≤ B．n≥ C．n≤ D．n≤-1
6．已知抛物线y=x2-x-2与x轴的一个交点为（m,0），则代数式m2-m+2012的值为（　　）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
7．如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A和点B，顶点为C，则sin∠ABC=（　　）
A． B． C．2 D．
8．给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象，如图下列命题错误的是（　　）
A．如果0＜a＜1，那么＞a＞a2
B．如果a＞1，那么a2＞a＞
C．如果-1＜a＜0，那么＞a2＞a
D．如果a＜-1，那么a2＞＞a
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）中自变量x与函数y的对应值如下，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2的取值范围是（　　）
x -1 0 1 2 3
y -2 1 2 1 -2
A．＜x1＜0，＜x2＜2 B．-1＜x1＜，2＜x2＜
C．＜x1＜0，2＜x2＜ D．-1＜x1＜，＜x2＜2
10．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过（2，0），且与y轴平行，抛物线与x轴相交于A（1，0），与y轴相交于B（0，3），其在对称轴左侧的图象如图所示，下面四个结论：
①x＞2时，y随x的增大而增大；
②y=3时，x的值只能为0；
③若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则|x1-x2|=2；
④抛物线的顶点坐标是（2，-1）．
正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
11．将抛物线y=2（x-2）2+3向下平移m个单位后与x轴只有一个交点，则m= ______．
12．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ______．
13．抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是 ______
14．如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（-4，-5），B（1，-2），则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为______．
15．如图，将二次函数y=x2-9位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标．
17．如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），B（-3，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
（3）点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
18．已知抛物线y1=x2与直线y2=-x+3相交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点O为坐标原点，△AOB的面积等于______；
（3）当y1＜y2时，x的取值范围是______．
19．如图，以点P（3，1）为顶点的二次函数图象交y轴于点A（0，4），将该二次函数图象向下平移n个单位（n＞0），交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若OB=BC，求n的值．
20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：y=kx-3k+4交于E，F两点．
（1）直线L经过定点D，直接写出点D的坐标；
（2）求△BEF面积的最小值．
北师大版九年级下 2.5 二次函数与一元二次方程 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、A 3、A 4、C 5、A 6、C 7、A 8、C 9、C 10、C
二．填空题（共5小题）
11、3； 12、（1，0）； 13、-1＜x＜3； 14、x1=-4，x2=1； 15、-3＜x＜0或x＞3；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）把B（1，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c得：，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3，
当y=0时，x2+2x-3=0，
解得x1=1，x2=-3，
∴A（-3，0）；
（2）过点D作x轴的垂线交AC于点G，连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y=kx+n,
把A（-3，0）、C（0，-3）代入得：，
解得，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
则，
∴当DG取最大值时，△ACD的面积最大，
设D（m,m2+2m-3），则G（m,-m-3），
∵点D位于第三象限，
∴-3＜m＜0，DG=-m-3-（m2+2m-3）=-m2-3m,
∴，
∴当时，△ACD的面积最大，最大值为，
此时，点D的坐标为．
17、解：（1）将点A（1，0），B（-3，0）代入y=x2+bx+c
得，，
解得，，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；
（2）y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
由平移规律得平移后的解析式为y=（x+2）2-1，
∴顶点为（-2，-1）；
（3）当y=0时，（x+2）2-1=0，
解得：x1=-3，x2=-1，
∴C（-3，0），D（-1，0），
∴CD=2，
∵，
∴|yp|=4，
∵顶点为（-2，-1），
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，
∴（x+2）2-1=4，
解得，或，
∴或．
18、解：（1）解方程组得或，
所以A点坐标为（-2，4），B（，）；
（2）当x=0时，y=-x+3=3，则直线y=-x+3与y轴的交点坐标为（0，3），
所以，△AOB的面积=×3×（+2）=；
（3）当-2＜x＜时，y1＜y2．
故答案为；-2＜x＜．
19、解：（1）由题意得该二次函数图象的顶点是点P（3，1）
∴设该二次函数的表达式为y=a（x-3）2+1把点A（0，4）代入得4=a（0-3）2+1．
∴．
∴该二次函数的表达式为．
（2）如图：设该抛物线的对称轴l交x轴于点D，
∴OD=3．
设平移后的解析式为，
由抛物线的对称性可知，BC关于对称轴/对称，
∴BD=CD，
∵OB=BC，
∴．
∴点B的横坐标2，
∴B（2，0）．
把B（2，0）代入得，，
∴．
20、解：（1）∵y=kx-3k+4，
∴k（x-3）=y-4，
∵k为任意不为0的实数，
∴x-3=0，y-4=0，
解得x=3，y=4，
∴直线L经过定点D，D（3，4）；
（2）设E、F的横坐标分别为x1，x2，
则x1，x2为方程的两根，
整理得x2-4（k+1）x+12k-13=0，
∴x1+x2=4（k+1），x1x2=12k-13，
∴，
当时，x2-x1有最小值，最小值为8，
当y=0时，，
解得x1=1，x2=3，
则B（3，0），
作BD∥y轴交直线EF于点D，如图，则D（3，4），
∴，
∴S△BEF的最小值为．

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