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北师大版九年级下册 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．抛物线y=-2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（-3，5） C．（-3，-5） D．（3，-5）
2．抛物线y=-（x+m）2+3的顶点坐标是（1，3），则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．±1 D．-1
3．关于抛物线y=x2-2x+c与y轴交于点（0，-3），则下列说法不正确的是（　　）
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线x=1
C．当x=1时，y的最大值为-4
D．抛物线与x轴的交点为（-1.0），（3，0）
4．将抛物线y=x2向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式为（　　）
A．y=x2+3 B．y=x2-3 C．y=（x+3）2 D．y=（x-3）2
5．如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c=m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
6．抛物线y=-3x2-6x+1的顶点坐标和对称轴分别是（　　）
A．（1，4），直线x=1 B．（1，4），直线x=4
C．（-1，4），直线x=-1 D．（-1，4），直线x=4
7．对于抛物线y=-（x-2）2+1，下列判断不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（2，1）
C．对称轴为直线x=-2
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
8．把二次函数y=3x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是（　　）
A．y=3（x+3）2-2 B．y=3（x+2）2+2
C．y=3（x-3）2-2 D．y=3（x-3）2+2
9．在平面直角坐标系xOy中，关于抛物线L：y=-ax（x-2）+2与直线l：y=x+2，下列说法正确的是（　　）
A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是（0，2）
B．无论a取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2
C．若关于x的方程-ax（x-2）+2=x+2在-2≤x≤2的范围内有两个整数解，则满足条件的a的值有3个
D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则
10．已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两实根x1=-2，x2=4，且abc＜0，则下列结论中正确的有（　　）
①2a+b=0；②抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为；③a＜0；④当m＜0时，m（am+b）＜4a+2b.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线，如果以顶点O为坐标原点，水平方向为x轴建立平而直角坐标系，则抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
12．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y=x,它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．-3≤n≤-1或 B．-3＜n＜-1或
C．-3＜n≤-1或 D．-3≤n≤-1或
二．填空题（共5小题）
13．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，m），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-4=0无实数根，则m的取值范围是 ______．
14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足如表：
x -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 3 4 3 m …
根据表格内容，则m的值为 ______．
15．（2025 惠城区模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+h相交于（-2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx-h＞kx-c成立时，x的取值范围是 ______．
16．已知二次函数y=-（x-2）2+c,过A（x1，y1），B（x2，y2），假设|x1-2|＞|x2-2|，则y1，y2的大小关系是 ______．
17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a-b+1＞0．其中正确的结论是______（填写序号）
三．解答题（共5小题）
18．某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现．若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．
（1）若商场平均每天盈利1200元．则每件衬衫应降价多少元？
（2）降价多少元时，平均每天盈利最大？
19．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m,且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？
20．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求顶点M的坐标；
（3）求△MCB的面积；
（4）P为抛物线上一点，若△APB的面积等于△MCB面积2倍，求P点坐标．
21．如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面BC的高OA=2m时，水面宽BC=4m.
（1）求该抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当水面BC下降1m到达EF时，求水面宽度增加多少m？
22．已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在左边），与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），Q为抛物线上第一象限内一点，若∠AQC=2∠BAQ，求点Q的坐标；
（3）如图（2），P是线段OC上一点，直线AP，BP分别交抛物线于另一点E，D，连接AD，BE，将△ADP，△BEP的面积分别记为S△ADP，S△BEP，求的值．
北师大版九年级下册 第2章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、C 4、B 5、A 6、C 7、C 8、D 9、C 10、C 11、A 12、C
二．填空题（共5小题）
13、m＜4； 14、0； 15、-2＜x＜2； 16、y1＜y2； 17、①②③④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）设若商场平均每天盈利1200元，则每件衬衣应降价a元，
（40-a）（20+2a）=1200，
解得 a1=10，a2=20，
∵扩大销售，
∴a=20，
答：每件衬衣应降价20元；
（2设利润为w元，降价x元，
∴w=（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250，
由题意可得：
∴40-x≥20，
∴x≤20，
∴当x=15时，w取得最大值，此时w=1250，
答：降价15元时，平均每天盈利最大．
19、解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（1，3），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2+3，
将点C（3，0）代入，得：4a+3=0，
解得a=-，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+3；
（2）当x=2时，y=-（x-1）2+3=-×（2-1）2+3=＞1.8，
∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．
20、解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1，0），C（0，5），（1，8），
则，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5；
（2）∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴顶点M（2，9）；
（3）令y=0，得（x-5）（x+1）=0，
解得x1=5，x2=-1，
∴B（5，0），
如图，作ME⊥y轴于点E，
∴E（0，9），
可得S△MCB=S梯形MEOB-S△MCE-S△OBC=（2+5）×9-×4×2-×5×5=15；
（4）设P点坐标为（m,-m2+4m+5），
∴S△PAB=×6×|-m2+4m+5|=2×15，
整理得：-m2+4m+5=10①或-m2+4m+5=-10②，
∵①式Δ=16-20＜0，
∴此方程无解；
解②得：m1=2-，m2=2-，
∴P点坐标为（2-，-10）或（2-，-10）．
21、解：（1）设该抛物线表示的二次函数解析式为y=ax2，
∵点（2，-2）在该抛物线上，
∴-2=a×22，
解得a=-，
∴该抛物线表示的二次函数解析式为y=-x2；
（2）当y=-3时，-3=-x2，得x1=，x2=-，
∴EF=-（-）=2（m），
∴EF-BC=（2-4）m,
即当水面BC下降1m到达EF时，水面宽度增加（2-4）m.
22、解：（1）A，B，C三点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；理由如下：
已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在左边），与y轴交于点C，
当y=0时，得：-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
当x=0时，得：y=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）Q为抛物线上第一象限内一点，∠AQC=2∠BAQ，如图1，延长CQ交x轴于点D，过点Q作QH⊥x于H，
∵∠BAQ+∠ADQ=∠AQC，
∴∠BAQ=∠ADQ，
∴AQ=DQ，
设Q（a,-a2+2a+3），则H（a,0），
设直线CQ的解析式为y=kx+b,把点C，点Q的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线CQ的解析式为y=（-a+2）x+3，
当y=0时，得：（-a+2）x+3=0，
解得，
∴，
∵AQ=DQ，QH⊥x轴，
∴AH=DH，
∴a-（-1）=，
整理得，2a2-3a-5=0，
解得a=-1或，
∵Q为抛物线上第一象限内一点，
∴，
∴；
（3）如图2，过点D作DN⊥x轴于点N，交AE于点M，过点E作EH⊥x轴于H，交BD于G，
设P（0，m），直线AE的解析式为y=cx+n,将点A，点P的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线AE的解析式为y=mx+m,
同理可得直线BD的解析式为，
联立，
解得或，
∴E（-m+3，-m2+4m），
同理得，
∴G（-m+3，），M（-1，），
∴DM==，EG===，
∴，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴====．

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