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华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标为（　　）
A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1）
2．抛物线y=x2-x-2与x轴交点的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．抛物线y=-3（x-4）2-5的最大值为（　　）
A．4 B．-4 C．5 D．-5
4．对于二次函数y=-（x-1）2+4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞1时，y随x的增大而增大
B．函数图象的对称轴是直线x=-1
C．这个函数有最大值1
D．函数图象与x轴有2个交点
5．在平面直角坐标系中，二次函数y=（x+h）2-3（h≠0）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．抛物线y=3（x+3）2-1的顶点是（　　）
A．（3，-1） B．（3，1） C．（-3，1） D．（-3，-1）
7．将抛物线y=（x+1）2+3先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后对应的二次函数解析式为（　　）
A．y=（x-1）2+4 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x+3）2+4 D．y=（x-1）2+2
8．如图，某矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成面积为1：2的两个矩形，已知栅栏的总长度为24m,当较小矩形的宽为xm时，矩形养殖场的总面积最大为ym2，则x,y的值为（　　）
A．4，48 B．， C．4， D．，48
9．已知二次函数y=2x2-4x+5，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x≤-1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥-1
10．二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠ABO=120°，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．已知二次函数．y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数，则有a-bt≤at2+b；⑤当图象经过点时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则，其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
12．如图，二次函数y=x2-x-的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．下列四种说法：
①点C在⊙I上；
②IQ⊥PD；
③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；
④线段BQ的长可以是3.2．
其中正确说法的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
13．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+5与y轴的交点坐标为 ______．
14．将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是 ______．
15．如图，二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n交点的横坐标分别为-2和1，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ______．
16．对于3个数：a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个数的中位数，用max{a,b,c}表示这三个数的最大数．例如：M{-2，-1，0}=-1，max{-2，-1，0}=0，如果M{9，x2，3x-2}=max{9，x2，3x-2}，则x=______．
17．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a,2a）就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y=（x-1）2+2就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点（-2，8），且顶点在第一象限，过点M（5，4）、N（-1，n）的线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为______．
三．解答题（共5小题）
18．已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x-2（m为常数）．
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
19．已知关于x的二次函数y=3x2-（3+k）x+k（k为常数）．
（1）若k=1，当0≤x≤1时，求二次函数的最小值；
（2）是否存在k值，使得该二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为3，如果存在，请求出k的值：如果不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知A（-2，0），该抛物线的对称轴为直线x=．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）假设将线段AC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点A、C平移后的对应点分别记为点A′，C′，当点C′在点C右侧时，求以A、C，A′，C′为顶点的四边形周长的最大值．
21．如图，抛物线P：y=a（x+1）2-2a与抛物线Q：y=（x-m）2+1在同一个坐标系中（a,m均为常数，且m＞0），已知抛物线P过点A（1，2），过点A作直线l∥x轴，交抛物线P于另一点B．
（1）a=______，点B的坐标为 ______；
（2）当抛物线Q经过点A时．
①求抛物线Q的解析式；
②设直线l与抛物线Q的另一交点记作C，求AC：AB的值；
（3）设抛物线Q的顶点为D，当△ABD为等腰三角形时，直接写出m的值．
22．如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、D 8、B 9、B 10、B 11、D 12、A
二．填空题（共5小题）
13、（0，5）； 14、4； 15、x＜-2或x＞1； 16、3或-3； 17、或n=4；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）依题意m2-m=0且m-1≠0，
所以m=0；
（2）依题意m2-m≠0，
所以m≠1且m≠0．
19、解：（1）将k=1代入二次函数表达式：，
∴当时，y取最小值．
（2）令y=0，得3x2-（3+k）x+k=0，
则，，
∴，
∵两个交点之间的距离为3，点A在点B的左侧，
∴x2-x1=3，
∴，
解得k=12或k=-6，
∴存在，k的值为12或-6．
20、解：（1）所求抛物线的对称轴为直线x=，且过点A（-2，0），
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为y=-x2+x+6；
（2）令x=0，得y=6，
∴C（0，6），
令y=0，得-x2+x+6=0，
解得x1=3，x2=-2（舍去），
∴B（3，0）；
由平移的性质可知，AC∥A′C′且AC=A′C′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∵点C′在点C右侧时，只有两种情况，
线段A′C′在点B的左右两侧，其中A′C′在点B左侧时，四边形周长最大．
令y=-6，则-x2+x+6=-6，
解得，x1=4，x2=-3（舍去），
∴A′（4，-6）．
根据两点间的距离公式（或勾股定理）得：
AA′=6，AC==2，
四边形周长最大值为：2（6+2）=12+4．
∴四边形周长最大值为：12+4．
21、解：（1）∵抛物线P：y=a（x+1）2-2a过点A（1，2），
∴a（1+1）2-2a=2，解得，a=1，
∴抛物线P的解析式为：y=（x+1）2-2，
∵直线l∥x轴，交抛物线P于另一点B，
∴点B的纵坐标与点A（1，2）的纵坐标相同，即纵坐标为2，即抛物线P得纵坐标为y=2，且点B在第二象限，
∴（x+1）2-2=2，解得，x1=1（不符合题意，舍去），x2=-3，
∴点B的坐标为（-3，2），
故答案为：1，（-3，2）．
（2）①∵抛物线Q：y=（x-m）2+1经过点A（1，2），且m＞0，
∴（1-m）2+1=2，解得，m1=0（不符合题意，舍去），m2=2，
∴抛物线Q的解析式为：y=（x-2）2+1；
②∵直线l∥x轴，直线l与抛物线Q的另一交点记作C，
∴点C的纵坐标与点A（1，2）的纵坐标相同，即纵坐标为2，且由图示可知点C在第一象限，
∴（x-2）2+1=2，解得，x1=1（不符合题意，舍去），x2=3，
∴点C的坐标为（3，2），
∵A（1，2），B（-3，2），C（3，2），
∴AC=3-1=2，AB=1-（-3）=4，
∴AC：AB=2：4=1：2，即AC：AB=1：2．
（3）∵A（1，2），B（-3，2），
∴AB=1-（-3）=4，
抛物线Q：y=（x-m）2+1的顶点坐标为（m,1），即D（m,1），
①如图所示，当AB=AD时，△ABD为等腰三角形，过点D作DE⊥x轴于点E，
∴在Rt△ADE中，AE=m-1，DE=1，
∴AD2=AE2+DE2，即42=（m-1）2+1，且m＞0，
∴（不符合题意，舍去），，
∴；
②如图所示，当AB=BD时，△ABD为等腰三角形，过点D作DF⊥x轴于点F，
∴BD=4，DF=2-1=1，BF=m-（-3）=m+3，
在Rt△BDF中，BD2=DF2+BF2，
∴42=1+（m+3）2，且m＞0，
∴（不符合题意，舍去），，
∴；
③如图所示，当AD=BD时，△ABD为等腰三角形，过点D作DG⊥x轴于点G，
∴点G为线段AB的中点，
∴点G的横坐标为，
∴G（-1，2），则D（-1，1）
∵抛物线Q：y=（x-m）2+1的顶点坐标为D（m,1），且m＞0，
∴当AD=BD时，△ABD为等腰三角形不符合题意；
综上所述，当△ABD为等腰三角形时，m的值为或．
22、解：在直线y=2x+2中，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=-1，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（-1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y=ax2+bx+c,
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP=OP=AO=1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB=DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP=OP=OB=2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，
点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．

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