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人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．小康利用复印机将一张长为5cm,周长为16cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形长为10cm,则放大后的矩形周长为（　　）
A．16cm B．21cm C．32cm D．42cm
3．如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为2：5，且三角尺的面积为4cm2，则投影三角形的面积为（　　）
A．10cm2 B．25cm2 C． D．
4．如图，直线AD∥BE∥CF，若AB：BC=1：2，DE=9，则EF的长是（　　）
A．4.5 B．18 C．9 D．12
5．下列条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′相似的是（　　）
A．
B．∠A=∠A′，∠B=∠C′
C．，且∠B=∠A′
D．，且∠B=∠C′
6．已知△ABC的三边长分别是，，与△ABC相似的三角形三边长可能是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DBA，则下列结论正确的是（　　）
A．= B．= C．= D．∠BAD=∠ADC
8．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=1，BD=3，则边AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，∠AED=∠B，且AD=2，AE=4，BD=10，则DE：BC等于（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：5
10．如图，在 ABCD中，E为BC边的中点，连接AE，交对角线BD于点F，已知BD=6，则BF的值为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
11．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为（　　）
A．8 B．13 C． D．
12．在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．现有以下结论：①连接DD′，则AP垂直平分DD′；②四边形PMBN是菱形；③AD2=DP PC；④若AD=2DP，则；其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
13．若，则=______．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE=4，S四边形DBCE=5，则的值是 ______．
15．如图，AB和CD表示两根直立于地面的木桩，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD的交点为M．已知AB=4m,CD=10m,则点M离地面的高度MH=______．
16．如图，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成三等份．若△ABC的面积为12cm2，图中阴影部分的面积为 ______cm2．
17．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F．若点G在线段BF上，且GF=2BG，连接AG，CG，记四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2．
（1）若GC∥EF，则=______；
（2）若，则的最大值=______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．
（1）求AC的长；
（2）当时，求证：DE∥BC．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的中垂线交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连接AE．
（1）求证：△ADE∽△FDA；
（2）若DE=2EF=2，求AE的长．
20．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D、E分别在边BC、AB上，线段AD与CE相交于点F，且AB AF=AC AD．
（1）求证：∠CDF=∠CFD；
（2）如果AE=AF，求证：CF2=DF DA．
21．如图，Rt△ABC和Rt△AEF中C，E是直角顶点，D在边AB上，AE=AC，AC2=AD AB，点F在BD的垂直平分线上．
（1）如图1，若∠B=30°，AE⊥AB，求sin∠EFD；
（2）如图2，求证：DF=FE．
22．如图1，在等边△ABC中，D，E分别是边BC，AC上点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，连接CP．
（1）求证：∠APB=120°；
（2）若，求证：CP⊥AD；
（3）如图2，连接DE，若∠AEB=∠CED，求的值．
人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、C 3、B 4、B 5、D 6、A 7、C 8、A 9、B 10、B 11、D 12、A
二．填空题（共5小题）
13、2； 14、； 15、m； 16、4； 17、；；
三．解答题（共5小题）
18、（1）解：∵EF∥CD，
∴=，
∵AF=3，AD=5，AE=4，
∴=，
解得：AC=；
（2）证明：∵AF=3，AD=5，AE=4，AB=，
∴==，
∴DE∥BC．
19、（1）证明：∵AB的中垂线交边BC于点E，∠ACB=90°，
∴AE=BE，∠DAE=∠B，
∠FDA=∠FDB=∠ACB=∠FCE=90°，
∵∠DEB=∠CEF，∠B=90°-∠DEB，∠F=90°-∠CEF，
∴∠B=∠F，
∴∠F=∠DAE，
∵∠ADE=∠FDA，
∴△ADE∽△FDA；
（2）解：∵DE=2EF=2，
∴EF=1，DF=ED+EF=3，
∵△ADE∽△FDA，
∴，
∴，
∴AD2=6，
∴．
20、证明：（1）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵AB AF=AC AD，
∴，
∴△BAD∽△CAF，
∴∠ADB=∠AFC，
∴∠CDF=∠CFD；
（2）∵∠CDF=∠CFD，
∴CD=CF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，又∠AFE=∠CFD，
∴∠EAF=∠DCF，又∠EAF=∠DAC，
∴∠DCF=∠DAC，
又∠CDF=∠ADC，
∴△DCF∽△DAC，
∴即CD2=DF DA，
∴CF2=DF DA．
21、（1）解：连接CD并延长，交EF于点M，过点F作FH⊥AB于点H，如图，
∵AC2=AD AB，
∴，
∵∠CAD=BAC，
∴△ADC∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=30°，∠ADC=∠ACB=90°．
∴CD⊥AB，
∵AE⊥AB，∠AEF=90°，
∴四边形ADME为矩形，
∴AD=EM，AE=DM，
∵AE=AC，
∴AC=DM．
∵∠ACD=30°，CD⊥AD，
∴AD=AC，
设AD=m.则AC=DM=2m,
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2AC=4m,
∴BD=3m.
∵点F在BD的垂直平分线上，FH⊥AB，
∴DH=BD=m.
∵FH⊥AB，∠HDM=∠DMF=90°，
∴四边形DMFH为矩形，
∴MF=DH=m,
∴DF==m,
∴sin∠EFD=；
（2）证明：过点F作FH⊥AB于点H，如图，
∵点F在BD的垂直平分线上，FH⊥AB，
∴DH=BD，
∵AE=AC，AC2=AD AB，
∴AE2=AD AB=AD（AD+BD）=AD（AD+2DH）=AD2+2AD DH，
∵AF2=FH2+AH2=FH2+（AD+DH）2=FH2+AD2+2AD DH+DH2，
∴EF2=AF2-AE2=FH2+DH2．
∵FH⊥AB．
∴DF2=DH2+FH2，
∴EF2=DF2，
∴DF=FE．
22、（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠DAB=∠EBC，
∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∵∠BAD+∠ABE+∠APB=180°，
∴∠APB=120°；
（2）证明：如图，延长AD到F，使PF=PB，连接FB，FC，
由（1）知：∠APB=120°，
∴∠FBP=60°，
∴△FPB是等边三角形，
∴PB=FB，
∴∠FBP=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABP=∠CBF，
在△PAB和△FCB中，
，
∴△PAB≌△FCB（SAS），
∴PA=FC，∠CFB=∠APB=120°，
∵，
∴CF=2BF=2FP．
取CF的中点G，连接PG，则PF=GC=FG，
∵∠AFB=60°，
∴∠PFG=60°，
∴△FPG是等边三角形，
∴PG=GC=FG，
∴∠GPC=∠GCP，
∵∠FGP=∠GPC+∠GCP=60°，
∴∠GPC=30°，
∴∠CPF=90°，
∴CP⊥AD；
（3）解：设CE=x,AE=y,则AE=DC=y,AB=AC=x+y,
∵∠AEB=∠CED，∠DCE=∠BAE=60°，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
∴，
化为x2+xy-y2=0，
∵y≠0，
∴，
∴或（舍去），
∴．

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