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2025-2026学年数学八年级上册单元测试卷浙教（2024）版
第2章 特殊三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第2章 特殊三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的．
【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称．
∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）．
对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；
对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；
对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；
对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整．
故选：D．
2．如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理．
根据已知可得，，根据勾股定理可得，，，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，从而可得直角三角形的个数．
【详解】解：∵在长方形中，，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴图中的直角三角形有、、、，共个．
故选：D．
3．非遗纸伞，传承千年．图是一伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，则下列判断不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
由，分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明，可得，．
【详解】 E，F分别是，的中点
，
所以选项A正确，
，是公共边，
，
所以选项B，C正确
故选D．
4．如图，平分，，，于D，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图，作于T．由，推出即可解决问题．
【详解】解：如图，作于T．
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．10 D．8
【答案】A
【分析】根据，得到垂直平分，继而得到，得到，结合，，得到，于是，进而求得．
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，又，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，线段的和差等，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质．
6．三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，能判断是直角三角形，不符合题意；
B、，则：，故，故，能判断是直角三角形，不符合题意；
C、，则：，能判断是直角三角形，不符合题意；
D、，不能判断是直角三角形，符合题意；
故选D．
7．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（）
A．3 B．3或6 C．6 D．6或12
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形，
∵，，
∴当时，，解得；
②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得
是等边三角形，则，
∵，，
∴当时，，解得；
综上可得：当或6秒时，是等腰三角形，
故选B．
8．如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．将点A和点B所在的面展开，则为矩形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可．
【详解】解：如图，
①将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则为直角三角形，
，，
，
故壁虎爬到蚊子处的最短距离为．
②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6，垂直距离为7，
此时的最短距离为，
，
故选：A．
9．在和中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分别过点A、作，垂足分别为点G，H，则，然后分两种情况：当点B，C在的两侧，且点在的两侧时；当点B，C在的两侧，且点在的同侧时，结合全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：分别过点A、作，垂足分别为点G，H，则，
如图，当点B，C在的两侧，且点在的两侧时，

在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当点B，C在的两侧，且点在的同侧时，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
故选：C
10．如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（ ）
①；②为的平分线；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键．根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过点作的延长线于点，作于点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确．
【详解】解：∵为等边三角形，
，
∵，
，
∵四边形中，，
．
故结论①正确；
如图，过点作的延长线于点，作于点．
则，
，，
，
又，
，
，
∴为的平分线．
故结论②正确；
， 平分，
∴垂直平分，
∴．
故结论③正确；
，
而， ，
．
故结论④不正确；
综上，正确的结论有3个．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点对应的数即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图可知：，
∴点表示的数为；
故答案为：
12．在中，是边上的高，，，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时，
，，
，
，
又，
；
如下图所示，当为钝角三角形时，
，，
，
，
又，
．
故答案为：或．
13．如图，设和都是等边三角形，且，则 ．
【答案】
【分析】根据等边三角形性质得出求出证根据全等三角形的性质得出，设，求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：和都是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
设，
，
，
∵
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边三角形的性质的应用，能求出是解此题的关键，难度适中．
14．若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．
先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴等腰三角形的腰长为2，
由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2，
∴这个等腰三角形的周长为．
故答案为：6．
15．如图，点A，D在同侧，且，且，点P在射线上．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角性质等知识，作交的延长线于点E，由，证明，再证明，得，，而，则，可推导出，所以，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：作交的延长线于点E，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．如图所示，在中，，，、分别是、上的点．若，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题关键，过点C作交延长线于点M，先证明，再证明，求出及即可求出结论．
【详解】解：过点C作交延长线于点M，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的面积为，
故答案为：．
17．如图，在中，已知，，，是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，当点在边上运动，时间 秒时，使为等腰三角形
【答案】或6或
【分析】本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，利用平方根解方程，注意进行分类讨论，是解题的关键．分类讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【详解】解：点从点开始沿方向运动，为等腰三角形，
点在边上，
有、和三种情况，
依题意，，
①当时，
解得：；
②当时，
如图，过作于，
已知，，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
解得：或 舍去；
③当时，则，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，或或秒能使成为等腰三角形．
故答案为：或或．
18．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若．则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，小正方形的边长为，进而可得答案．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
，
，
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
，
同理可得，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
，，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．

(1)求证：；
(2)若，，则__________，__________．
【答案】(1)见解析
(2)4，
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定、含度角的直角三角形的性质，三线合一，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的性质定理得出，利用即可证明；
（2）由角平分线的性质定理得出，求出，再由含度角的直角三角形的性质求出，勾股定理求出，然后利用三线合一即可求出．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4；
20．遛狗时牵绳可以保障他人的安全，维护社区和谐．晚饭后小莉和家人一起出门遛狗，其示意图如图．小莉发现，遛狗时当她身体站直，牵绳的手离地面的高度，小狗的脖子上的绳到地面的高度，小狗与小莉的距离．求此时牵狗绳的长（绳子一直是直的）．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．通过构建直角三角形，利用勾股定理来求解牵狗绳的长度．
【详解】解：由图可知，，，，
∴
又∵，且，
∴是直角三角形，其中和为直角边，为斜边，
∴
将，代入可得：，
∵长度不能为负，
∴，
答：此时牵狗绳的长．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)分别求出线段、的长度；
(2)在图中画线段、使得的长为，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)画图见解析；理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出、的长即可；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：如图，，，
，，
，
以、、三条线段可以组成直角三角形．
22．如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)为等腰三角形，见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可；
（2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论；
（3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出，
即可证明结论．
【详解】（1）证：三角形为等腰直角三角形，
，，
，
，
∴，
，
∴，
在和中
，
；
（2）证明： ，
，
D为的中点，
，
在和中
，
，
∴，
∴，
，
；
（3）解：为等腰三角形，理由如下：
∵，
，
∵，，
垂直平分，
∴，
为等腰三角形．
23．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．

(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)当_________时，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)当或或时，是等腰三角形
【分析】此题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可；
（3）根据全等三角形的性质可得，，，再分三种情况求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，当或或时，是等腰三角形．
24．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容
如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，．
（1）若，则；
（2）的余角是_________；
【学科融合】
物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）．
【数学推理】
（3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：．
【尝试探究】
（4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示）
【答案】（1）30；（2）的余角是：；（3）见解析（4）；
【分析】（1）根据轴对称性质求解即可；
（2）根据余角的定义求解即可；
（3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论；
（4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：，，
∴，
∴．
（2）证明：∵
∴，，
∵
∴
∴的余角是，．
（3），
∴，
∴，
由反射定律得：，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4），，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键．
25．在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图，连接，若平分，，，，则 ．
(3)如图，若，，求证：点在的平分线上．
(4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，求线段的长．
【答案】(1)直角
(2)5
(3)见解析
(4)①，理由见解析；②
【分析】（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可；
（2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）连接，证明得，即可得出结论；
（4）①由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论；
②连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点为的中点，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）解：平分，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
即，
故答案为：5；
（3）证明：如图，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点在的平分线上；
（4）解：，理由如下：
由题意知，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
；
②如图，连接，设，则，
，，
，，
由勾股定理，得，，
即，
，
线段的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026学年数学八年级上册单元测试卷浙教（2024）版
第2章 特殊三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第2章 特殊三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．非遗纸伞，传承千年．图是一伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，则下列判断不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平分，，，于D，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点D在边上，连接，，于点E，若，，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．10 D．8
6．三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（）
A．3 B．3或6 C．6 D．6或12
8．如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（ ）
A． B． C． D．
9．在和中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（ ）
①；②为的平分线；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是 ．
12．在中，是边上的高，，，则的度数为 ．
13．如图，设和都是等边三角形，且，则 ．
14．若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ．
15．如图，点A，D在同侧，且，且，点P在射线上．若，则 ．
16．如图所示，在中，，，、分别是、上的点．若，，，则的面积为 ．
17．如图，在中，已知，，，是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，当点在边上运动，时间 秒时，使为等腰三角形
18．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若．则的值是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．

(1)求证：；
(2)若，，则__________，__________．
20．遛狗时牵绳可以保障他人的安全，维护社区和谐．晚饭后小莉和家人一起出门遛狗，其示意图如图．小莉发现，遛狗时当她身体站直，牵绳的手离地面的高度，小狗的脖子上的绳到地面的高度，小狗与小莉的距离．求此时牵狗绳的长（绳子一直是直的）．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)分别求出线段、的长度；
(2)在图中画线段、使得的长为，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
22．如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，判断的形状，并说明理由．
23．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．

(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)当_________时，是等腰三角形．
24．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容
如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，．
（1）若，则；
（2）的余角是_________；
【学科融合】
物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）．
【数学推理】
（3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：．
【尝试探究】
（4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示）
25．在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图，连接，若平分，，，，则 ．
(3)如图，若，，求证：点在的平分线上．
(4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，求线段的长．
试卷第1页，共3页
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