资源简介

四川省绵阳市游仙区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷
一、选择题（每小题3分，满分36分）
1．（2024九上·游仙期末）下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛出的篮球会下落
B．抛掷一个均匀硬币，正面朝上
C．打开电视机，正在播广告
D．买一张电影票，座位号是奇数号
【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、抛出的篮球会下落，是必然事件，故此选项符合题意；
B、抛掷一个均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
C、打开电视机，正在播广告，是随机事件，不合题意；
D、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不合题意；
故答案为：A.
【分析】直接利用随机事件、必然事件的定义分别分析得出答案即可.
2．（2024九上·游仙期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，据此可得结果.
3．（2024九上·游仙期末）下列是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得是一元二次方程，其余均不为一元二次方程，
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
4．（2024九上·游仙期末）已知抛物线与轴的两个交点在两旁，则关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个正数根 B．有两个负数根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴的两个交点在两旁，
∴当时，，
，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根．
∴，，
∴关于的方程有两个不相等的负实数根．
故答案为：B
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到m的取值，进而根据判别式即可得到关于的方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
5．（2024九上·游仙期末）如图，AB为 的直径，P为BA延长线上的一点，D在 上（不与点A，点B重合），连结PD交 于点C，且PC=OB.设 ，下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接OC，OD.
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB=β，∴∠POD=∠B+∠ODB=2β.
∵CP=CO=OD，∴∠P=∠COP=α，∠OCD=∠ODC.
∵∠OCD=∠P+∠COP，∴∠ODC=2α.
∵∠P+∠POD+∠ODP=180°，∴3α+2β=180°①.
不妨设选项A正确，则α=30°，β=30°，显然不满足①，故假设错误.
不妨设B正确，则α=30°，β=60°，显然不满足①，故假设错误.
不妨设C正确，则α=10°，β=75°，满足条件①，C符合题意.
不妨设B正确，则α=15°，β=45°，显然不满足①，故假设错误.
故答案为：C.
【分析】如图，连接OC，OD.根据同圆半径相等及三角形外角的性质可得∠POD=∠B+∠ODB=2β，根据直角三角形的性质及三角形外角的性质可得∠ODC=2α，利用三角形内角和定理可得3α+2β=180°.然后分别假设各选项成立，逐一进行验证即可.
6．（2024九上·游仙期末）从十二边形的一个顶点引对角线，可把这个多边形分成（　　）个三角形．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵从一个顶点可以引条对角线，将边形分为个三角形，
∴，
∴从十二边形的一个顶点出发的对角线把该多边形分成10个三角形．
故答案为：A
【分析】根据多边形的性质结合题意得到从一个顶点可以引条对角线，将边形分为个三角形，进而即可求解。
7．（2024九上·游仙期末）如图，，是的切线，A，B是切点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据切线长定理求出∠APO的度数，进而根据切线的性质得到，再解直角三角形即可求解。
8．（2024九上·游仙期末）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AF的长为（　　）
A．6 B． C．8 D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于36，
∴AD=DC=6，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，AE=，
∴AE=AF，
故答案为：D
【分析】根据旋转的性质结合三角形全等的性质得到AE=AF，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于36，进而结合题意即可得到AD=DC=6，再根据勾股定理即可求解。
9．（2024九上·游仙期末）若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解分式方程
【解析】【解答】解 ：依题意△＞0，即(3a+1)2﹣8a(a+1)＞0，
即a2﹣2a+1＞0，(a﹣1)2＞0，
∴a≠1，
∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a，
∴﹣＝1﹣a，
解得：a＝±1，
又a≠1，
∴a＝﹣1.
故答案为：A.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求解可得a≠1，根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1x2＝，代入x1-x1x2+x2＝1-a中进行计算就可求出a的值.
10．（2024九上·游仙期末）如图，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选B．
【分析】①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y=kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；
③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾；
④三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；
⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
　
11．（2024九上·游仙期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为 的正方形 的边 轴，顶点 的坐标为 ．二次函数 的图象的顶点在正方形 的边上运动，则 的值可以（　　）．

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】（ ）顶点在 时， 取最小值．
∵ ，∴ ，
代入解析式 得 ．
（ ）顶点在 时， 取最大值．
∵ ，∴ ，
代入解析式 得 ．
综上， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】利用二次函数的性质，当二次函数的顶点再A点c取最小值；当二次函数的顶点在C点时，c取最大值，即可求解。
12．（2024九上·游仙期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；轴对称的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接MG，如图所示：
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
∴∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×12=6，
∴MG=CG=×6=3，
∴HN=3，
故答案为：B
【分析】取BC的中点G，连接MG，进而根据旋转的性质得到∠MBH+∠HBN=60°，BM=BN，从而结合题意根据轴对称的性质得到HB=BG，再根据三角形全等的判定与性质证明△MBG≌△NBH（SAS）即可得到MG=NH，从而得到当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
二、填空题（每小题4分，满分24分）
13．（2024九上·游仙期末）已知函数的图象是抛物线，则　 　．
【答案】-1
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：
【分析】先根据二次函数的定义得到，进而即可求解。
14．（2024九上·游仙期末）在一个不透明的空袋子里，放入分别标有数字1，2，3，5的四个小球（除数字外其他完全相间），从中随机摸出2个小球，摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】列表格如下：
　 1 2 3 5
1 　 1+2=3 1+3=4 1+5=6
2 2+1=3 　 2+3=5 2+5=7
3 3+1=4 3+2=5 　 3+5=8
5 5+1=6 5+2=7 5+3=8 　
由表可知共有12种情况，其中摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的有6种情况，
故摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率为 ．
【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
15．（2024九上·游仙期末）已知圆锥的底面半径为，它的侧面积是，则这个圆锥的母线长为　 　．
【答案】7
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长为：，设圆锥的母线长为，
则，
解得，
故答案为：
【分析】设圆锥的母线长为，根据弧长公式进行计算即可求解。
16．（2024九上·游仙期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为　 　元．
【答案】50
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得：，
由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
【分析】设商场对这种台灯的售价为x元，根据题意列出方程求解即可。
17．（2024九上·游仙期末）二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为　 　.
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图可知：y≤4，即ax2+bx≤4，
∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx=-c，
∴-c≤4，
∴c≥-4．
的最小值为-4.
故答案是：-4
【分析】先根据二次函数的图象得到ax2+bx≤4，再结合一元二次方程即可得到-c≤4，进而即可求出c的最值。
18．（2024九上·游仙期末）如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，过O点作，
在中，，
∴，即此时圆的直径最小为8，
∵，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
∴，
在中，，∴，
∴，
∵
∴最小时，最小，也就是最小，
∵
∴，，
∴，即最小为，
故答案为：
【分析】根据线段的定义结合题意得到当为的边上的高时，直径最短，连接，过O点作，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据垂径定理得到，再结合题意根据勾股定理得到，从而结合题意得到最小时，最小，也就是最小，进而即可求解。
三、解答题（满分90分）
19．（2024九上·游仙期末）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为
　 　．
【答案】（1）解：△A1B1C1如图1所示，C1（1，-2）；
（2）解：△A2B2C2如图2所示，C2（-1，1）；
（3） π+
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵AB= ，AC= ，BC= ，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，扇形AOB2
∴S△ABC= × × = ，
∴△ABC旋转过程中所扫过的面积= S△ABC
= +
= π+ ．
故答案为： π+ ．
【分析】（1）根据平移的性质分别确定出点ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即得△A1B1C1，根据点C1的位置写出坐标即可；
（2）根据旋转的性质分别确定出点A、B、C 绕点A顺时针方向旋转90°后得到的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接即得△A2B2C2，根据点C2的位置写出坐标即可；
（3）△ABC旋转过程中所扫过的面积= S△ABC据此计算即可.
20．（2024九上·游仙期末）某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任李老师设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上 、 、 （每个字母分别代表一位同学，其中 、 分别代表两位女生， 代表男生），搅匀后，李老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛。
（1）求李老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率．
【答案】（1）解：共有3个球，第一次摸出的乒乓球代表男生的有1种情况，
∴第一次摸出的乒乓球代表男生的概率为
（2）解：树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好选定一名男生和一名女生参赛的有4种，
∴P（恰好选定一名男生和一名女生参赛）= .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）共3个球，第一次摸出的乒乓球代表男生的有1种，即可利用概率公式求得结果；（2）列树状图即可解答.
21．（2024九上·游仙期末）如图，若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求顶点坐标和，两点的坐标；
（2）若为二次函数图象上一点且，求点的坐标．
【答案】（1）解：令，则，
解得，，
，；
（2）解：，，
，
设点的坐标为，
由题意，
，
，
则，
当时，
解得：或，
当时，
解得，
故所求点的坐标为，或或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意即可求解；
（2）先根据点A和点B的坐标得到AB，进而设点的坐标为，根据三角形的面积解一元二次方程即可求解。
22．（2024九上·游仙期末）如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，以CD 为直径的分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作于点G．
（1）试判断FG与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求FG的长．
【答案】（1）解：与相切．理由如下：
如图，连接OF，DF，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=，
∵CD为⊙O直径，
∴DF⊥BC，
∴F为BC中点，
∵OC=OD，
∴OF为△CDB的中位线，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
∴为的切线；
（2）解：∵CD为Rt△ABC斜边上中线，
∴AB=2CD=10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，
∴BC=，
∴BF=，
∵FG⊥AB，
∴sinB=，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OF，DF，先根据直角斜边上的中线的性质得到CD=BD=，进而根据圆周角定理得到DF⊥BC，再结合题意运用三角形中位线定理得到OF∥AB，从而根据平行线的性质结合切线的判定即可求解；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB=2CD=10，进而结合题意解直角三角形得到AC，再根据勾股定理即可求出BC，从而解直角三角形即可求解。
23．（2024九上·游仙期末）完成下列各题
（1）问题的提出：如图1，中，，求证：．
（2）知识的运用：如图2，四边形是正方形，，，点是边上一点，，且，连．求的度数．
（3）拓展与延伸：如图3，四边形中，，，，为四边形边上一点，连，若，且，探究与的数量关系．直接写出结果，不需说明理由．
【答案】（1）证明：如图，作的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图2，连接，过点作，交于点，
，，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）解：如图3，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∵，
，
，
，，
，
，
．
【分析】（1）作的中线，进而根据中线的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）连接，过点作，交于点，根据等腰三角形的性质结合题意即可得到∠ACB的度数，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（3）在上截取，连接，根据题意证明得到，从而根据平行线的性质得到，再结合题意进行角的运算即可求解。
24．（2024九上·游仙期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问：
（1）经过几秒，的面积等于？
（2）五边形的面积最小值是多少？
【答案】（1）解：设经过秒，的面积等于，
，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动，
，，
的面积，
解得或2，
经过4秒或2秒，的面积等于；
（2）解：设经过秒，五边形的面积最小，
由（1）知，的面积，
五边形的面积
，
当时，五边形的面积最小，最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；四边形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）设经过秒，的面积等于，进而结合题意根据三角形的面积即可列出一元二次方程，从而即可求解；
（2）设经过秒，五边形的面积最小，由（1）知，的面积，进而根据五边形的面积结合二次函数的最值问题即可求解。
25．（2024九上·游仙期末）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
图1 图2
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值；
（3）如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
【答案】（1），点，点
（2）解：过点P作轴于E，交于点F，如图1：
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大为；
（3）证明：如图2，设点，
直线，直线，直线，
整理得：，
则，，
同理：，，
∵，
∴，
∴，
，
联立直线与直线的解析式得：，
解得：，
∵直线与直线的交点始终在直线上，
∴，
化简得：，
∴，
∴直线，
∴不论为何值，均有时，，
即：直线恒过定点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）对于，令，则，
∴，
∴点，点，
令，则，
∴点；
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意即可求解；
（2）过点P作轴于E，交于点F，进而运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而设，则，表示出PF，再根据相似三角形的判定与性质证明，结合题意得到，从而根据二次函数的最值即可求解；
（3）设点，直线，直线，直线，进而将点C、B的坐标代入得到，再根据二次函数与一次函数的交点问题结合题意即可得到，，同理得到，，进而可得：，，从而根据直线与直线的交点始终在直线上得到，，即直线，再结合题意即可求解。
1 / 1四川省绵阳市游仙区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷
一、选择题（每小题3分，满分36分）
1．（2024九上·游仙期末）下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛出的篮球会下落
B．抛掷一个均匀硬币，正面朝上
C．打开电视机，正在播广告
D．买一张电影票，座位号是奇数号
2．（2024九上·游仙期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·游仙期末）下列是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·游仙期末）已知抛物线与轴的两个交点在两旁，则关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个正数根 B．有两个负数根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
5．（2024九上·游仙期末）如图，AB为 的直径，P为BA延长线上的一点，D在 上（不与点A，点B重合），连结PD交 于点C，且PC=OB.设 ，下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．（2024九上·游仙期末）从十二边形的一个顶点引对角线，可把这个多边形分成（　　）个三角形．
A．10 B．11 C．12 D．13
7．（2024九上·游仙期末）如图，，是的切线，A，B是切点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·游仙期末）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AF的长为（　　）
A．6 B． C．8 D．
9．（2024九上·游仙期末）若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2
10．（2024九上·游仙期末）如图，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
11．（2024九上·游仙期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为 的正方形 的边 轴，顶点 的坐标为 ．二次函数 的图象的顶点在正方形 的边上运动，则 的值可以（　　）．

A． B． C． D．
12．（2024九上·游仙期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
二、填空题（每小题4分，满分24分）
13．（2024九上·游仙期末）已知函数的图象是抛物线，则　 　．
14．（2024九上·游仙期末）在一个不透明的空袋子里，放入分别标有数字1，2，3，5的四个小球（除数字外其他完全相间），从中随机摸出2个小球，摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是　 　．
15．（2024九上·游仙期末）已知圆锥的底面半径为，它的侧面积是，则这个圆锥的母线长为　 　．
16．（2024九上·游仙期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为　 　元．
17．（2024九上·游仙期末）二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为　 　.
18．（2024九上·游仙期末）如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　 　．
三、解答题（满分90分）
19．（2024九上·游仙期末）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为
　 　．
20．（2024九上·游仙期末）某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任李老师设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上 、 、 （每个字母分别代表一位同学，其中 、 分别代表两位女生， 代表男生），搅匀后，李老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛。
（1）求李老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率．
21．（2024九上·游仙期末）如图，若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求顶点坐标和，两点的坐标；
（2）若为二次函数图象上一点且，求点的坐标．
22．（2024九上·游仙期末）如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，以CD 为直径的分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作于点G．
（1）试判断FG与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求FG的长．
23．（2024九上·游仙期末）完成下列各题
（1）问题的提出：如图1，中，，求证：．
（2）知识的运用：如图2，四边形是正方形，，，点是边上一点，，且，连．求的度数．
（3）拓展与延伸：如图3，四边形中，，，，为四边形边上一点，连，若，且，探究与的数量关系．直接写出结果，不需说明理由．
24．（2024九上·游仙期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问：
（1）经过几秒，的面积等于？
（2）五边形的面积最小值是多少？
25．（2024九上·游仙期末）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
图1 图2
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值；
（3）如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、抛出的篮球会下落，是必然事件，故此选项符合题意；
B、抛掷一个均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
C、打开电视机，正在播广告，是随机事件，不合题意；
D、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不合题意；
故答案为：A.
【分析】直接利用随机事件、必然事件的定义分别分析得出答案即可.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，据此可得结果.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得是一元二次方程，其余均不为一元二次方程，
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴的两个交点在两旁，
∴当时，，
，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根．
∴，，
∴关于的方程有两个不相等的负实数根．
故答案为：B
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到m的取值，进而根据判别式即可得到关于的方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接OC，OD.
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB=β，∴∠POD=∠B+∠ODB=2β.
∵CP=CO=OD，∴∠P=∠COP=α，∠OCD=∠ODC.
∵∠OCD=∠P+∠COP，∴∠ODC=2α.
∵∠P+∠POD+∠ODP=180°，∴3α+2β=180°①.
不妨设选项A正确，则α=30°，β=30°，显然不满足①，故假设错误.
不妨设B正确，则α=30°，β=60°，显然不满足①，故假设错误.
不妨设C正确，则α=10°，β=75°，满足条件①，C符合题意.
不妨设B正确，则α=15°，β=45°，显然不满足①，故假设错误.
故答案为：C.
【分析】如图，连接OC，OD.根据同圆半径相等及三角形外角的性质可得∠POD=∠B+∠ODB=2β，根据直角三角形的性质及三角形外角的性质可得∠ODC=2α，利用三角形内角和定理可得3α+2β=180°.然后分别假设各选项成立，逐一进行验证即可.
6．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵从一个顶点可以引条对角线，将边形分为个三角形，
∴，
∴从十二边形的一个顶点出发的对角线把该多边形分成10个三角形．
故答案为：A
【分析】根据多边形的性质结合题意得到从一个顶点可以引条对角线，将边形分为个三角形，进而即可求解。
7．【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据切线长定理求出∠APO的度数，进而根据切线的性质得到，再解直角三角形即可求解。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于36，
∴AD=DC=6，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，AE=，
∴AE=AF，
故答案为：D
【分析】根据旋转的性质结合三角形全等的性质得到AE=AF，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于36，进而结合题意即可得到AD=DC=6，再根据勾股定理即可求解。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解分式方程
【解析】【解答】解 ：依题意△＞0，即(3a+1)2﹣8a(a+1)＞0，
即a2﹣2a+1＞0，(a﹣1)2＞0，
∴a≠1，
∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a，
∴﹣＝1﹣a，
解得：a＝±1，
又a≠1，
∴a＝﹣1.
故答案为：A.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求解可得a≠1，根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1x2＝，代入x1-x1x2+x2＝1-a中进行计算就可求出a的值.
10．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选B．
【分析】①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y=kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；
③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾；
④三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；
⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
　
11．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】（ ）顶点在 时， 取最小值．
∵ ，∴ ，
代入解析式 得 ．
（ ）顶点在 时， 取最大值．
∵ ，∴ ，
代入解析式 得 ．
综上， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】利用二次函数的性质，当二次函数的顶点再A点c取最小值；当二次函数的顶点在C点时，c取最大值，即可求解。
12．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；轴对称的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接MG，如图所示：
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
∴∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×12=6，
∴MG=CG=×6=3，
∴HN=3，
故答案为：B
【分析】取BC的中点G，连接MG，进而根据旋转的性质得到∠MBH+∠HBN=60°，BM=BN，从而结合题意根据轴对称的性质得到HB=BG，再根据三角形全等的判定与性质证明△MBG≌△NBH（SAS）即可得到MG=NH，从而得到当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
13．【答案】-1
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：
【分析】先根据二次函数的定义得到，进而即可求解。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】列表格如下：
　 1 2 3 5
1 　 1+2=3 1+3=4 1+5=6
2 2+1=3 　 2+3=5 2+5=7
3 3+1=4 3+2=5 　 3+5=8
5 5+1=6 5+2=7 5+3=8 　
由表可知共有12种情况，其中摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的有6种情况，
故摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率为 ．
【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
15．【答案】7
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长为：，设圆锥的母线长为，
则，
解得，
故答案为：
【分析】设圆锥的母线长为，根据弧长公式进行计算即可求解。
16．【答案】50
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得：，
由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
【分析】设商场对这种台灯的售价为x元，根据题意列出方程求解即可。
17．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图可知：y≤4，即ax2+bx≤4，
∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx=-c，
∴-c≤4，
∴c≥-4．
的最小值为-4.
故答案是：-4
【分析】先根据二次函数的图象得到ax2+bx≤4，再结合一元二次方程即可得到-c≤4，进而即可求出c的最值。
18．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，过O点作，
在中，，
∴，即此时圆的直径最小为8，
∵，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
∴，
在中，，∴，
∴，
∵
∴最小时，最小，也就是最小，
∵
∴，，
∴，即最小为，
故答案为：
【分析】根据线段的定义结合题意得到当为的边上的高时，直径最短，连接，过O点作，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据垂径定理得到，再结合题意根据勾股定理得到，从而结合题意得到最小时，最小，也就是最小，进而即可求解。
19．【答案】（1）解：△A1B1C1如图1所示，C1（1，-2）；
（2）解：△A2B2C2如图2所示，C2（-1，1）；
（3） π+
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵AB= ，AC= ，BC= ，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，扇形AOB2
∴S△ABC= × × = ，
∴△ABC旋转过程中所扫过的面积= S△ABC
= +
= π+ ．
故答案为： π+ ．
【分析】（1）根据平移的性质分别确定出点ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即得△A1B1C1，根据点C1的位置写出坐标即可；
（2）根据旋转的性质分别确定出点A、B、C 绕点A顺时针方向旋转90°后得到的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接即得△A2B2C2，根据点C2的位置写出坐标即可；
（3）△ABC旋转过程中所扫过的面积= S△ABC据此计算即可.
20．【答案】（1）解：共有3个球，第一次摸出的乒乓球代表男生的有1种情况，
∴第一次摸出的乒乓球代表男生的概率为
（2）解：树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好选定一名男生和一名女生参赛的有4种，
∴P（恰好选定一名男生和一名女生参赛）= .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）共3个球，第一次摸出的乒乓球代表男生的有1种，即可利用概率公式求得结果；（2）列树状图即可解答.
21．【答案】（1）解：令，则，
解得，，
，；
（2）解：，，
，
设点的坐标为，
由题意，
，
，
则，
当时，
解得：或，
当时，
解得，
故所求点的坐标为，或或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意即可求解；
（2）先根据点A和点B的坐标得到AB，进而设点的坐标为，根据三角形的面积解一元二次方程即可求解。
22．【答案】（1）解：与相切．理由如下：
如图，连接OF，DF，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=，
∵CD为⊙O直径，
∴DF⊥BC，
∴F为BC中点，
∵OC=OD，
∴OF为△CDB的中位线，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
∴为的切线；
（2）解：∵CD为Rt△ABC斜边上中线，
∴AB=2CD=10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，
∴BC=，
∴BF=，
∵FG⊥AB，
∴sinB=，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OF，DF，先根据直角斜边上的中线的性质得到CD=BD=，进而根据圆周角定理得到DF⊥BC，再结合题意运用三角形中位线定理得到OF∥AB，从而根据平行线的性质结合切线的判定即可求解；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB=2CD=10，进而结合题意解直角三角形得到AC，再根据勾股定理即可求出BC，从而解直角三角形即可求解。
23．【答案】（1）证明：如图，作的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图2，连接，过点作，交于点，
，，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）解：如图3，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∵，
，
，
，，
，
，
．
【分析】（1）作的中线，进而根据中线的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）连接，过点作，交于点，根据等腰三角形的性质结合题意即可得到∠ACB的度数，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（3）在上截取，连接，根据题意证明得到，从而根据平行线的性质得到，再结合题意进行角的运算即可求解。
24．【答案】（1）解：设经过秒，的面积等于，
，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动，
，，
的面积，
解得或2，
经过4秒或2秒，的面积等于；
（2）解：设经过秒，五边形的面积最小，
由（1）知，的面积，
五边形的面积
，
当时，五边形的面积最小，最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；四边形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）设经过秒，的面积等于，进而结合题意根据三角形的面积即可列出一元二次方程，从而即可求解；
（2）设经过秒，五边形的面积最小，由（1）知，的面积，进而根据五边形的面积结合二次函数的最值问题即可求解。
25．【答案】（1），点，点
（2）解：过点P作轴于E，交于点F，如图1：
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大为；
（3）证明：如图2，设点，
直线，直线，直线，
整理得：，
则，，
同理：，，
∵，
∴，
∴，
，
联立直线与直线的解析式得：，
解得：，
∵直线与直线的交点始终在直线上，
∴，
化简得：，
∴，
∴直线，
∴不论为何值，均有时，，
即：直线恒过定点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）对于，令，则，
∴，
∴点，点，
令，则，
∴点；
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意即可求解；
（2）过点P作轴于E，交于点F，进而运用待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而设，则，表示出PF，再根据相似三角形的判定与性质证明，结合题意得到，从而根据二次函数的最值即可求解；
（3）设点，直线，直线，直线，进而将点C、B的坐标代入得到，再根据二次函数与一次函数的交点问题结合题意即可得到，，同理得到，，进而可得：，，从而根据直线与直线的交点始终在直线上得到，，即直线，再结合题意即可求解。
1 / 1

展开更多......

收起↑