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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题2.7.1勾股定理十四大题型（一课一练）
（第1课时 “勾股定理”）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．以下列各组数为边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．，2， C．2，，3 D．2，3，4
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴以1，1，2为三边长不能构成三角形，更不可能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴以，2，为三边长不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴以2，，3为三边长能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵，
∴以2，3，4为三边长不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，在中，，，是边上的高，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．
由等腰三角形的性质，结合已知可得为的中点，从而可得的长度，根据勾股定理即可得的长．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
又∵，
∴为的中点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的长为．
故选：A．
3．数学活动课上，赵奕用同样的火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了3根和4根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒（ ）
A．14根 B．12根 C．11根 D．10根
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用，是基础知识，比较简单．根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量，再由三角形的周长公式来求摆完这个直角三角形共用火柴棒的数量．
【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的火柴棒，
∴由勾股定理，得到斜边需要：（根），
∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒是：（根）．
故选：B．
4．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解．
【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，
∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，
∴它们的面积比为；
故选D．
5．如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上表示无理数，
先求出，再根据勾股定理求出，可得，然后求出，则答案可得.
【详解】解：∵，
∴.
∵，
∴，
由题意可知，，
∴，
∴C的横坐标为1．
故选：B．
6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案．
【详解】解：由图可得：大正方形的面积，
大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，
∴，
∴，
故选：B．
7．如图，一张三角形纸片，，，．现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于（ ）
A．3cm B． C． D．5cm
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握利用勾股定理列方程求解是关键．连结，设，先求出，在中，根据勾股定理列方程，求得，最后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图，
，，，
，
设，则，
由折叠可知，，，
在中，，
，
解得，即，
在中，，
即折痕长等于．
故选：C．
8．如图，在中， ， 通过尺规作图得到的直线分别交、于D、E， 连接．若 ，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
先求解，，再连接，证明，利用勾股定理求解，，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
连接，如图：
由题意可得：是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B；
9．满足下列条件时，不是直角三角形的为（ ）
A．，， B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，即可得出结论．
【详解】A．∵，
∴是直角三角形，不合题意；
B．根据条件设，，，其中，
∵，
∴是直角三角形，不合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大的角∠C，
∴不是直角三角形，符合题意；
D．∵
∴，
∴是直角三角形，不合题意；
故选：C．
10．如图，中，，，，，若点M、N分别在边上，当四边形的周长最小时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点P关于的对称点，点关于的对称点，连接交于M，交于，此时四边形的周长最小，过点P作于H，由勾股定理求出，，得出，再求出，过点作于K，在中，，，则，，在中，由勾股定理得，即可得出结果．
【详解】解：如图，作点P关于的对称点，点关于的对称点，连接交于M，交于，此时四边形的周长最小，
过点P作于H，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
过点作于K，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面积分别为25和64，则最大正方形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用．
根据勾股定理，将正方形、的面积相加，即可得最大正方形的面积．
【详解】解：，
∴最大正方形的面积是．
故答案为：．
12．如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∵在中，，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
13．一个矩形的周长为，面积为，则这个矩形的一条对角线为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
设矩形的一条边长为，另一条边长为，根据题意可列二元一次方程组，求解后结合勾股定理即可．
【详解】解：设矩形的一条边长为，另一条边长为，
∵矩形的周长为，面积为，
∴，
解得：或，
∴这个矩形的一条对角线为：，
故答案为：．
14．如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了勾股数，求阴影部分的面积．
先根据题意得，结合整数解可求出a，b值，再根据面积公式可得答案．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，得，
∵a，b为整数，
∴，
∴.
故答案为：7．
15．已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ．
【答案】等腰直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质是解题的关键．
根据已知，，可得且，进而得出，，即，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案．
【详解】解： ，
且，
，，即，
，是直角三角形，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
16．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义与性质，先计算，，，再进一步解答即可．
【详解】解：连接，
根据勾股定理可以得到：，，，
∴且，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
17．如图，在中，已知，，在平面内有一点D，，连接，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出，再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
当时，如图：
∵，
∴；
当时，如图：
∵，
∴；
∵，
∴．
综上所述，当是直角三角形时，的长为或，
故答案为：或．
18．如图，在等腰中，，，直线经过点B，过点A作于点D，过点C作于点E，点F为延长线上一点，且，点G为的中点，连接，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理，梯形中位线定理，过点G作于M，于N，可以证明，得到，，，由梯形中位线定理推出，于是得到，，由勾股定理即可求出的长，综合应用以上知识点是解题的关键．
【详解】解：过点G作于M，于N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，小方格是边长为1的正方形．
(1)求的面积．
(2)在方格中画出面积为13的正方形（顶点在格点上）．
(3)在方格中画出三边边长都是无理数的直角三角形（顶点在格点上）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了勾股定理，网格作图．
（1）直接根据割补法计算即可；
（2）结合勾股定理画边长是的正方形即可；
（3）结合勾股定理画图即可．
【详解】（1）
（2）如图，正方形即为所求；
（3）如图， 即为所求；
20．如图，在四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)10
(2)
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，灵活运用勾股定理求解是解题的关键．
（1）根据等边三角形的判定与性质可求解的长，再利用勾股定理可求解的长；
（2）过点D作于点E，由等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理可求得的长，进而结合三角形的面积可求解．
【详解】（1）解：，，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
．
（2）解：过点作于点，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
，
而，
．
21．如图，，，E为的中点，连接，，，交于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
（1）证明，，可得，进一步可得结论．
（2）求解，过点 E 作于点H．由（1）得 ，，进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又 E 为的中点，
∴，，
∴，
即是等腰三角形．
（2）解：∵ ，E 为 的中点，
∴，
在 中，，，
由勾股定理，得 即 （负值已舍去）．
过点 E 作于点H．
由（1）得 ，
∴．
∵
∴
在 中，由勾股定理，得
即 （负值已舍去）．
∴ ．
22．如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千的B处保护（即）．
(1)当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了，即米．请你尝试求出秋千绳索的长度；
(2)在（1）小题绳索长度不变的情况下，已知圆柱场地的底面直径为20米，为了保证表演的安全性，小丑甲相比点A最多升高多少米（竖直距离）？
【答案】(1)秋千绳索的长度为
(2)小丑甲相比点A最多升高
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理构建方程或算式．
（1）设．在中，根据，构建方程即可解决问题；
（2）由题意，最大宽度为，根据勾股定理，求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，连接交于点D．设秋千绳索长为，则．
由对称性知，垂直平分，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
答：秋千绳索的长度为．
（2）解：由题意可知：
最大宽度为，
此时，
在中，，
∴（m），
∴（m）．
答：比点A最多升高．
23．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示．从三角板的刻度可知，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，
根据题意可得，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，得到，根据全等可得，根据勾股定理可得，求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
∵一块墙砖的厚度为，
∴，
∴，
在中：，
∴，
∵，
解得，
答：砌墙砖块的厚度a为．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知：，点在轴的正半轴上，，将沿翻折，使点落到点的位置，连接并延长交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿轴的正方向运动，当为直角三角形时，求的值；
(3)在（2）的条件下，当为以为直角的直角三角形时，在轴上是否存在一点使为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)，，或
【分析】（1）根据已知及含的直角三角形的性质得出、的值以及的度数，进而求得的度数和的长，即可求得D的坐标．
（2）根据直角三角形的判定，分两种情况讨论求得．
（3）求得的长，分四种情形讨论即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，当时，已知，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴．
当点与点O重合时，，此时．
综上所述，当或时，为直角三角形．
（3）解：满足条件的点Q的坐标为，，或．
提示：如图2，
①当为腰时，
∵，
∴，
∴，；
②当时，设，
在中，，
解得，
∴；
③当时，；
综上所述，满足条件的点Q的坐标为，，或．
【点睛】本题考查几何变换综合题、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题学会用分类讨论的思想思考问题．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题2.7.1勾股定理十四大题型（一课一练）
（第1课时 “勾股定理”）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．以下列各组数为边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．，2， C．2，，3 D．2，3，4
2．如图，在中，，，是边上的高，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
3．数学活动课上，赵奕用同样的火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了3根和4根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒（ ）
A．14根 B．12根 C．11根 D．10根
4．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（ ）
A．3 B． C． D．
6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，一张三角形纸片，，，．现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于（ ）
A．3cm B． C． D．5cm
8．如图，在中， ， 通过尺规作图得到的直线分别交、于D、E， 连接．若 ，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．满足下列条件时，不是直角三角形的为（ ）
A．，， B．
C． D．
10．如图，中，，，，，若点M、N分别在边上，当四边形的周长最小时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面积分别为25和64，则最大正方形的面积是 ．
12．如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ．
13．一个矩形的周长为，面积为，则这个矩形的一条对角线为 ．
14．如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为 ．
15．已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ．
16．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．
17．如图，在中，已知，，在平面内有一点D，，连接，当是直角三角形时，的长为 ．
18．如图，在等腰中，，，直线经过点B，过点A作于点D，过点C作于点E，点F为延长线上一点，且，点G为的中点，连接，若，，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，小方格是边长为1的正方形．
(1)求的面积．
(2)在方格中画出面积为13的正方形（顶点在格点上）．
(3)在方格中画出三边边长都是无理数的直角三角形（顶点在格点上）．
20．如图，在四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
21．如图，，，E为的中点，连接，，，交于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
22．如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在A处坐上秋千，小丑乙在离秋千的B处保护（即）．
(1)当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了，即米．请你尝试求出秋千绳索的长度；
(2)在（1）小题绳索长度不变的情况下，已知圆柱场地的底面直径为20米，为了保证表演的安全性，小丑甲相比点A最多升高多少米（竖直距离）？
23．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示．从三角板的刻度可知，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知：，点在轴的正半轴上，，将沿翻折，使点落到点的位置，连接并延长交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿轴的正方向运动，当为直角三角形时，求的值；
(3)在（2）的条件下，当为以为直角的直角三角形时，在轴上是否存在一点使为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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