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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题2.4等腰三角形的判定定理九大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．到角两边距离相等的点在角的平分线上
C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
D．有一个角等于的三角形是等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查判断命题的真假，涉及等腰三角形的性质、角平分线的判定、等边三角形的判定，熟知正确的命题是真命题是解答的关键．根据相关知识逐项判断即可．
【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，正确，是真命题，符合题意；
B、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，原命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：A．
2．如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可．
【详解】解：若，，的周长为，
∴，
，
A、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意；
B、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意；
C、记两弧交点为，由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意；
D、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意，
故选：D．
3．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先过点作，如图所示，由题意可知为的角平分线，结合角平分线性质、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质得到，再由即可确定答案．
【详解】解：过点作，如图所示：
由题意可知，，且，
为的角平分线，
则，
，
，
则，
，
点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，
，则，
故选：B．
4．如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长．
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，
∴，即，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
5．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边对等角、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，根据垂直平分线的性质得到，，利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，，由，得到，则，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6．已知，点P在内部，点是点P关于的对称点，点是点P关于的对称点，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
【详解】解：∵P为内部一点，点P关于的对称点分别为，
∴且，
∴是等边三角形．如图，
故选：D．
7．如图，，，，，则的度数等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先利用判定，求得，再证明是等边三角形，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．如图，在中，D是的中点，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长至点，使得，连接，先证明，再证明，然后得到为等边三角形，即可求解．
【详解】解：延长至点，使得，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴,
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：A．
9．如图，在中，，，是的平分线，点D在AC上，则图中等腰三角形的个数一共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识；根据等边对等角，得到，角平分线得到，三角形的外角得到，等角对等边得到等腰三角形，进行判断即可．
【详解】解：∵在中，，
∴是等腰三角形，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
∴，
∴是等腰三角形；
故共有三个等腰三角形；
故选C．
10．小红用两个全等的等腰和等腰设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线l对称，点E，F分别是底边，的中点，且，下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．当时，等腰和等腰均为等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等；根据轴对称图形的性质可得，从而得到，可判断A；根据等腰三角形的性质判断B；过点O作，则，根据题意可得，，再由，可得，从而得到，然后根据轴对称图形的性质可得，由此判断C；根据求出，由此判断D．
【详解】解：∵它们关于直线对称，
∴，
∴，
∵点E，F分别是底边的中点，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵等腰和等腰，
∴，
∴，
∵
∴，故选项B正确，不符合题意；
如图，过点O作，则，
∵点E，F分别是底边的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵它们关于直线对称，
∴，
∴，
∴，故C选项正确，不符合题意；
当时，，
∴
∴等腰和等腰均不是等边三角形，故选项D错误，符合题意；
故选：D
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，D为上一点，，且，，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形外角的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握以上性质是解题的关键．先根据 “等边对等角” 得到，再根据三角形外角性质得到，进而判定为等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴．
故答案为：5．
12．如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为 .
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握等角对等边是解答本题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，推得，，根据等角对等边得出，，即可求解．
【详解】解：∵和的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
延长到点，使，连接，则，而，即可根据“”证明 ，得，，因为，，，所以，，推导出，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：延长到点，使，连接，
在中，为边的中线，
，
在和中，
，
，
，，
为上一点，连接并延长交于点，，，，
，，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，在中，，且为边的中点，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，先证明为等边三角形，为等边三角形，进一步求解即可.
【详解】解：，
，
，
，
，
为等边三角形，
∴，，
为等边三角形，
为的中点，
∴，
，
故答案为：
15．如图①，衣架杆．若衣架收拢时，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 ．
【答案】18
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，先证明为等边三角形，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴A，B两点之间的距离是．
故答案为：．
16．已知a，b，c是的三边长，且满足，则此三角形是 ．
【答案】等边三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意，将题中式子进行化简得到，推出得到这个三角形是一个等边三角形．据此解答．
【详解】解：∵，
∴，
，
即，
∴且，
∴，
∴这个三角形是一个等边三角形．
故答案为：等边三角形．
17．如图，等腰直角中，，底边的长为10，点在上，从作的垂线交于点，交的延长线于点，则的值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
先求出，，继而推导出是等腰直角三角形，且，则，得到，即可解答．
【详解】解：在等腰直角中，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴．
故答案为：10．
18．如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，延长到点，使，连接，而，，可根据“”证明，得，，因为，，所以，则，于是得到问题的答案，掌握知识点的应用，正确地添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长到点，使，连接，
∵点是边上的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在四边形中，点是的中点，，，，且平分，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定定理、角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，最后由等边三角形的判定定理即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：平分，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
20．如图，在中，，，．
(1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）题的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）证明为等腰直角三角形，得到，角平分线结合三角形的内角和定义，推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
21．如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．求证：
(1)是等腰三角形；
(2)．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等．
（1）根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上；
(1)在图中画出一个以线段为腰的等腰三角形，点在小正方形的格点上；
(2)在图中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为4；
(3)连接，请直接写出四边形的面积______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】本题考查了作图，包括画等腰三角形，画钝角三角形；以及等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握作图规则并判断出四边形是平行四边形是解决本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质作图即可；
（2）由图可知A、B间的垂直方向长为2，要使构造的钝角三角形面积为4，则可以在A的水平方向取一条长为4的线，由此可求；
（3）根据钝角三角形面积为4，求解四边形的面积即可．
【详解】（1）解：等腰三角形，如图，
（2）解：钝角三角形，如图，
（3）解：连接，如图，
∴．
23．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
【特殊情况，探索结论】
（1）如图①，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（选填“”“”或“”）；
【特例启发，解答题目】
（2）如图②，当为边上任意一点时，请写出线段与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）；（2），见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质求解即可；
（2）过点E作，交于点，利用等边三角形的性质证出，即可求解．
【详解】解：（1）解：∵为等边三角形，
∴
∵为的中点，
∴平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：；
（2）．
理由：过点E作，交于点，则，，如图所示：
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴．
24．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为．
(1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
(2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，M，N两点重合，此时两点重合在点C处
(2)存在，此时M，N运动的时间为
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先求出点N第一次运动到点B的时间，再结合M，N两点重合，进行列式，解出，即可作答．
（2）先根据等腰三角形的性质得，再结合等边三角形的性质得，证明，得．当点M，N在BC边上运动，是等腰三角形时，．结合进行列式，即可作答．
【详解】（1）解：点N第一次运动到点B用时为，
由题意，得，
解得，
∴当时，M，N两点重合，
则，
此时两点重合在点C处．
（2）解：存在．
理由如下：如图，点M，N在上，连接，
∵是以为底边的等腰三角形，
，
．
∵是等边三角形，
．
在和中，
．
当点M，N在边上运动，是等腰三角形时，．
，
解得，
∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰，
此时M，N运动的时间为．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题2.4等腰三角形的判定定理九大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．到角两边距离相等的点在角的平分线上
C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
D．有一个角等于的三角形是等边三角形
2．如图，若，，的周长为，不能作出的中点的尺规作图是（ ）
A． B． C． D．
3．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
5．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，点P在内部，点是点P关于的对称点，点是点P关于的对称点，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．如图，，，，，则的度数等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，D是的中点，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在中，，，是的平分线，点D在AC上，则图中等腰三角形的个数一共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
10．小红用两个全等的等腰和等腰设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线l对称，点E，F分别是底边，的中点，且，下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．当时，等腰和等腰均为等边三角形
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，D为上一点，，且，，则 ．
12．如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为 .
13．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ．
14．如图，在中，，且为边的中点，，则的值为 ．
15．如图①，衣架杆．若衣架收拢时，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 ．
16．已知a，b，c是的三边长，且满足，则此三角形是 ．
17．如图，等腰直角中，，底边的长为10，点在上，从作的垂线交于点，交的延长线于点，则的值是 ．
18．如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在四边形中，点是的中点，，，，且平分，求证：是等边三角形．
20．如图，在中，，，．
(1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）题的条件下，求证：．
21．如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．求证：
(1)是等腰三角形；
(2)．
22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上；
(1)在图中画出一个以线段为腰的等腰三角形，点在小正方形的格点上；
(2)在图中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为4；
(3)连接，请直接写出四边形的面积______．
23．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
【特殊情况，探索结论】
（1）如图①，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（选填“”“”或“”）；
【特例启发，解答题目】
（2）如图②，当为边上任意一点时，请写出线段与的数量关系并说明理由．
24．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为．
(1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
(2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页

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