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3.2.2 课时2
双曲线简单几何性质的应用
第3章
1.理解直线与双曲线的位置关系.
2.会求解有关弦长问题.
3.能用双曲线的性质解决问题.
类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.
直线与双曲线的位置关系
y
O
相离：无公共点
相切：1个切点
相交：2个交点
x
(交于左支/右支/异支)
相交：1个交点
(与渐近线平行)
O
x
y
O
x
y
O
x
y
判断直线与双曲线的位置关系(代数法)
O
x
y
例1 已知直线 y=kx-1与双曲线x2-y2=4，试讨论实数k的取值范围，使直线与双曲线(1)无公共点； (2)有2个公共点；(3)只有1个公共点.
解：联立方程组，消y得(k2－1)x2－2kx＋5＝0.
(1)无公共点时：，解得或k＞.
(2)有2个公共点时：，解得＜k＜且k≠±1.
(3)只有1个公共点时：或k＝±1，解得或k＝±1.
考虑二次项系数A是否为0
A≠0时才能考虑△
A=0时直线与渐近线平行
相切
相交于一点
归纳总结
(1)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：
直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
例2 已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，求弦AB.
解：双曲线C：,则c2＝4，
∴右焦点为F(2，0)，
由题意有过F的直线斜率存在，∴设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立，化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，
∴xA＋xB＝，xAxB＝，
∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝＝8，
∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝＝8，
解得k2＝2，
∴xAxB＝＝10，
则|AB|＝＝＝6.
例2 已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，求弦AB.
归纳总结
双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.
解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
例3 已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=2x，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C的方程；
(2)经过点M(1，4)的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.
(2)易知直线l的斜率存在，故可设为k，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2，y1+y2=8.
所以直线l的方程为y-4=x-1，即x-y+3=0，
经检验直线x-y+3=0与双曲线C有两个交点，满足条件，
所以直线l的方程为x-y+3=0.
回顾本节课，回答下列问题：
(1)解决直线与双曲线的位置关系时需要注意什么？
(2)解决中点弦问题常用什么方法？
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
2.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A.(1，2) B.(－2，－1)
C.(－1，－2) D.(2，1)
A
C
3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A.(－2，2) B.[－2，2)
C.(－2，2] D.[－2，2]
4.直线l：y＝k(x－2)与双曲线C：x2－y2＝2的左、右两支各有一个交点，则k的取值范围为( )
A.k≤－1或k≥1 B.－1≤k≤1
C.－A
D

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