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河南省信阳高级中学北湖校区
2025-2026学年高一上期09月测试（二）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合，则下列结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，且，则满足条件的集合的个数（ ）
A．8 B．9 C．15 D．16
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设集合，U为整数集，（ ）
A． B． C． D．
6．已知命题，则是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
8．若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
10．给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ）
A．集合为闭集合；
B．集合为闭集合；
C．集合为闭集合；
D．若集合为闭集合，则为闭集合．
11．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，则“”是“”的必要不充分条件
B．若，则的最小值为2
C．若正实数满足，则的最小值为
D．若位于第一象限的点的坐标是方程的一组解，则的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若， 则实数的取值范围为 ．
13．已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为 ．
14．已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知集合.
(1)求；
(2)求
16．（15分）已知集合．
(1)若，求;
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．（15分）已知二次函数．
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
(2)解关于的不等式（其中）．
18．（17分）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
19．（17分）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证:若，，则；
命题：若，，则必有；
命题：若，，且，则必有.
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2025-2026学年高一上期09月测试（二）
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A B A D C C ACD AC ACD
12．
13．
14．
15．（1）由条件可得：；
（2）或
所以或
16．（1）当时，，
所以；
（2）因为，
所以由，得，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为；
（3）由是的充分不必要条件，可得 ，
又，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．
17．（1）不等式，
当时，恒成立，而，
当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）不等式，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，解得或；
所以当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
18．（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，
解得，
又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人;
（2）假设存在实数满足条件.
由技术人员年人均投入不减少得, 解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
,
两边同除以得,
整理得,
故有,
因为, 当且仅当时等号成立, 所以,
又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,
，即存在这样的m满足条件，其值为7.
19．（1）（1）集合不是“好集”.
理由：假设集合是“好集”.
因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”.
有理数集是“好集”.
理由：
因为，，
对任意的，，有，且时，，
所以有理数集是“好集”.
（2）证明:因为集合是“好集”，
所以，
若，，则，即.
所以，即.
（3）命题、均为真命题，理由如下：
对任意一个“好集”，任取，，
若，中有0或1时，显然.
若，均不为0，1，由定义可知，，，
所以，即，所以.
由（2）可得，即.
同理可得.
若或，则.
若且，则.
所以，所以.
由（2）可得，所以.
若，，且，则，所以，即命题q为真命题.

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