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2024-2025学年四川省德阳市中江县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，比大的数是（　　）
A. -1 B. -2 C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列事件中是必然事件的是（　　）
A. 小菊上学一定乘坐公共汽车
B. 某种彩票中奖率为，买10000张该种彩票一定会中奖
C. 在一个只装有红球的盒子里摸到白球
D. a是实数，|a|≥0
4.下列计算正确的是（　　）
A. （3x）2=3x2 B. 3x+3y=6xy
C. （x+y）2=x2+y2 D. （x+2）（x-2）=x2-4
5.抛物线y=（x-4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是（　　）
A. （4，-5），开口向上 B. （4，-5），开口向下
C. （-4，-5），开口向上 D. （-4，-5），开口向下
6.已知⊙O的半径是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=2，则直线l与⊙O的交点个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 没有交点 D. 不能确定
7.抛物线y=2x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A. y=2（x-1）2+3 B. y=2（x-1）2-3 C. y=2（x-1）2-1 D. y=2（x+1）2-1
8.已知α、β是方程2x2-3x-1=0的两个实数根，则αβ-2（α+β）+4的值是（　　）
A. B. C. 3 D.
9.如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（　　）
A. 2
B. 2π
C.
D. π
10.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（　　）
A.
B.
C.
D. 18
11.不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12.已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，c＜0）经过（1，1），（m,0），（n,0）三点，且n 3.有下列结论：
①4ac-b2＜4a；
②当n=3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则.
其中，正确结论的个数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.若m,n为实数，且（m+4）2+=0，则（m+n）2的值为______.
14.分式方程=的解是______．
15.已知二次函数y=x2-2x+1，当-5≤x≤3时，y的取值范围是______．
16.如图，在扇形AOB中，OA=6，∠AOB=120°，则的长为______.
17.如图所示，在圆形转盘中，∠AOB=∠BOC=90°，拨动指针，指针指向区域a的概率为P1，在矩形转盘中，CD=1，BD=2，拨动指针，指针指向a区域的概率为P2，则P1×P2= .
18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AD=8，点E在BC的延长线上，若∠DCE=60°，则⊙O的面积为 .
三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
（1）计算：；
（2）解方程：
①x2-2x-11=0；
②（x+8）（x+1）=-12.
20.(本小题12分)
某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A.数字猜谜；B.数独；C.魔方；D.24点游戏；E.数字华容道.该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示.
根据上述信息，解决下列问题.
（1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数；
（3）此次“魔方游戏”中获得优胜的有2名男生和2名女生，该校计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
21.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上.
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB1C1（点B1，C1分别是B，C的对应点），在图中画出△AB1C1；
（2）在图中画出△ABC关于点O中心对称的△A2B2C2（点B2，C2分别是B，C的对应点），点C2的坐标是______；
（3）在（1）、（2）的基础上，我们发现点C1，A2关于某点中心对称，则对称中心的坐标是______.
22.(本小题12分)
某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液.经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶.
（1）若售价定为35元，每月可售出多少桶？
（2）若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？
（3）当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？
23.(本小题12分)
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
（1）若方程有两个相等实数根，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
24.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F，交BC于点G，且∠F=2∠B.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：FC=FG.
25.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（-6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N.
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形.
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】B
12.【答案】B
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】0≤y≤36
16.【答案】4π
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】5； ①；②x1=-4，x2=-5
20.【答案】200人；补全条形统计图如图所示．
约150人．
．
21.【答案】见解答； 图形见解答，（3，-6）； （0，-1）．
22.【答案】解：（1）根据题意得：500-10×（35-30）
=500-10×5
=500-50
=450（桶）．
答：每月可售出450桶；
（2）根据题意得：30+（500-200）÷10
=30+300÷10
=30+30
=60（元）．
答：每桶洗衣液的定价为60元；
（3）设销售价格应定为x元，则每桶的销售利润为（x-20）元，月销售量为500-10（x-30）=（800-10x）桶，
根据题意得：（x-20）（800-10x）=8000，
整理得：x2-100x+2400=0，
解得：x1=40，x2=60，
又∵要体现“薄利多销”的销售原则，
∴x=40．
答：销售价格应定为40元．
23.【答案】解：（1）根据题意得Δ=4（m+1）2-4（m2+5）=0，解得m=2；
（2）当腰长为7时，则x=7是一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的一个解，
把x=7代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，
整理得m2-14m+40=0，解得m1=10，m2=4，
当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，而7+7＜15，故舍去；
当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；
当7为等腰三角形的底边时，则x1=x2，所以m=2，方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3＜7，故舍去，
综上所述，m的值是4，这个三角形的周长为17．
24.【答案】（1）证明：如图，连接OC，
由题意可得：∠B=∠OCB，
∴∠DOC=∠B+∠OCB=2∠B，
∵∠F=2∠B，
∴∠DOC=∠F，
∵∠DEF=90°，
∴∠D+∠F=90°，
∴∠D+∠DOC=90°，
∴∠OCD=180°-（∠D+∠DOC）=180°-90°=90°，
又∵点C在⊙O上，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵DF是⊙O的切线，
∴OC⊥DF，
∴∠OCF=∠OCB+∠FCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠GEB=90°，
∴∠OBC+∠EGB=90°，
∴∠FCB=∠EGB，
∴∠FCB=∠FGC，
∴FC=FG．
25.【答案】解：（1）①抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（-6，0）和点C（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）∵抛物线的表达式为，
∴OA=4，
设直线BQ的解析式为y=kx+b1，
∵B（-6，0），，
∴，
解得，
∴直线BQ的解析式为，
∵N为BQ与y轴交点，
∴N（0，2），
∴AN=2，
∵四边形ANEM是平行四边形，
∴AN∥EM且EM=AN=2，且点E在点M下方，
∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM，
∴BM=OA=4，
∵B（-6，0），
∴M（-2，0）或（-10，0），
若M为（-2，0），
∵∠BME=∠AOM=90°，
故E（-2，-2），
若M为（-10，0），
∵OM=ME=2，此时OM=10，（矛盾，舍去），
综上，点E的坐标为（-2，-2）；
②如图，设AM的解析式为y=kx+b,
∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，4），
将点A（0，4）、M（-2，0）的坐标代入y=kx+b得：
，
解得，
∴AM的解析式为y=2x+4，
AM与BQ相交于点P，
∴，
解得，
所以点P的坐标为，
设直线BE的解析式为y=mx+n,
将点B、E的坐标代入直线BE的解析式得：
，
解得，
所以直线BE的解析式为，
BE与AM相交于点H，
∴，
解得，
∴点H的坐标为，
∴BP=，
BH=，
∴，
当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，
∴OH1=BO-BH=，
∴==；
方法二：提示：可证△BHP是等腰直角三角形则等腰Rt△BH1P1，
取F（0，6），则等腰Rt△BOF，△BH1O与△BP1F相似，
∴，
∴=BP1+FP1≥BF，
即1≥6，
故的最小值．
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