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2024-2025学年四川省广元市朝天区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列事件是确定事件的是（　　）
A. 等边三角形三条边相等 B. 打开电视，正在播新闻联播
C. 汽车随机经过一个路口，遇到红灯 D. 投硬币刚好正面朝上
3.用配方法解一元二次方程x2-4x-6=0时，配方后的方程是（　　）
A. （x+2）2=2 B. （x-2）2=2 C. （x+2）2=10 D. （x-2）2=10
4.如图所示，将长方形ABCD绕其顶点B顺时针方向转到如图所示位置，则旋转角可以为（　　）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
5.如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法中错误的是（　　）
A. 甲乙两地相距1000km
B. 点B表示此时两车相遇
C. 慢车的速度为100km/h
D. 折线B-C-D表示慢车先加速后减速最后到达甲地
6.定义运算“※”为：a※，如：1※，则函数y=4※x的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6．按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连结OC，则OC为（　　）
A. 2 B. 2 C. D. 1
8.我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程x2+5x-14=0即x（x+5）=14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52=81，因此（x+x+5）2=81，所以x=2.则在下列四个构图中，能正确说明方程x2-2x-8=0解法的构图是（　　）
A. B.
C. D.
9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是另一侧半圆的中点，若BC=4，，则⊙O的半径长为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.二次函数y=ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为（-2，-9a），下列5个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a-b+c=0；④若方程a（x+5）（x-1）=-1有两根为x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8.其中正确结论的个数是（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知关于x的一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1，则k=______.
12.在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字-2，0，-1，4.把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张.则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是______.
13.若a,b是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则的值为______.
14.如图，将⊙O的分别沿弦AB、AC翻折，翻折后的两段弧均经过圆心O，若⊙O的半径是3，则图中阴影部分的面积为 .
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，OA=3，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若△ODE的面积为，则PD+PE的最小值是______.
16.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，在平面内有一点E，BE=3，过点E作EF⊥BE，且，连接BF、DE、DF，点G是线段DF的中点，连接EG，则线段EG长度范围是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.先化简，再求值：（+x-2），其中x=+1．
四、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
用适当的方法解下列方程.
（1）x2-2x-3=0；
（2）2x-3-x（2x-3）=0.
19.(本小题8分)
如图，△BDE是△ABC在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边BC上，点C的对应点为点E，连接CE，若CE∥AB.
（1）求证：∠ABC=60°；
（2）若，求AB的长.
20.(本小题8分)
某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）关系如图所示，设这种双肩包每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
21.(本小题9分)
如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上.⊙O为△ABC的外接圆.
（1）请在指定的网格中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）：①标出△ABC的外接圆圆心O；
②画出∠ACB的角平分线CM交⊙O于M；
（2）求的长度.
22.(本小题9分)
【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目式学习活动.同学们从收集的槐树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
柳树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7
槐树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
柳树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949
槐树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089
【问题解决】
（1）上述表格中：m=______，n=______；
（2）①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小；
②该小组收集的树叶中有一片长为6.5cm,宽为2.8cm的树叶，这片树叶来自于______树的可能性大；
（3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率.
23.(本小题10分)
如图，将等腰直角三角板的直角顶点C放在坐标系的C（3，0）处，锐角顶点A（2，m）和B（6，n）恰好都落在反比例函数第一象限图象上.
（1）求反比例函数解析式；
（2）连接OA，求四边形OABC的面积.
24.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB.交CB的延长线于点E.
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=30°，，求CD的长.
25.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边AC上（不与端点重合），过点D作DE⊥AC，且DE=CD，连接AE、CE，过点B作BF∥AE，连接AF、EF.
（1）求证：AF∥CE；
（2）如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转，当点D在边BC上时，试探究线段AF与AD的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在绕点C旋转一周过程中，若，CD=1，求点F运动路径的长.
26.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用.例如A（a,a）就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数y=（x-1）2+1就是“好点二次函数”.
（1）直线上的“好点”坐标为______；
（2）若“好点二次函数”y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
（3）若“好点二次函数”的图象过点（-2，6），且顶点在第一象限，当m-1≤x≤m时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d,求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】2
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】3π
15.【答案】
16.【答案】2≤EG≤8
17.【答案】解：（+x-2）
=
=
=，
当x=+1时，原式===1+．
18.【答案】x1=3，x2=-1；
，x2=1
19.【答案】∵△BDE是△ABC在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴BE=BC，∠ABC=∠CBE，
∵CE∥AB．
∴∠ABC=∠BCE，
∴∠EBC=∠CBE，
∴BE=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=60°，
∴∠ABC=∠CBE=60°；
3
20.【答案】w=-x2+90x-1800（30≤x≤60）；
商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元
21.【答案】①
②

22.【答案】2.15；1.5；
①柳；
②杨；

23.【答案】；
9.5
24.【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOD=∠BOD=180°=90°，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∵∠BAC=30°，，
∴AB=2BC=4．
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD=AB=4，
过点B作BF⊥CD于点F，
∵∠CDB=∠CAB=30°，
∴BF=BD=2，
∴DF==2，
∵∠BOD=2∠BCD=90°，
∴∠BCD=45°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴CF=BF=2，
∴CD=CF+DF=2+2．
25.【答案】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，设BC交EF于点H，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵过点D作DE⊥AC，且DE=CD，
∴∠DEC=∠DCE=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ECD=45°+45°=90°，∠DHC=180°-∠HDC-∠ACB=180°-90°-45°=45°，
∴∠BHF=45°，
∴∠ABC=∠BHF，
∴AB∥EF，
∵BF∥AE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF，
∴EF=AC，
∵DE=DC，
∴AC-CD=EF-DE，
∴AD=DF，
又∵AC⊥EF，
∴∠AFD=45°，
∴∠AFD=∠DEC，
∴AF∥CE；
；
证明：由 可知，四边形ABFE是平行四边形，△CDE是等腰直角三角形，DE=DC，∠EDC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AF=BE，
如图2，连接BE，作AH⊥BC，设CD=a=ED，AB=b=AC，
在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
由勾股定理得：，∠ABC=∠ACB=45°，
∴，
∵∠EDC=90°，
∴∠BDE=90°，
在直角三角形BDE中，由勾股定理得：，
∵AH⊥BC，∠ACB=45°，
∴AH=CH，
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：AH2+CH2=AC2=b2，
∴2AH2=b2，
∴，，
∴，
在直角三角形ADH中，由勾股定理得：，
∴BE2=2AD2，
∴，
∴；

26.【答案】（2，2）；
y=-x2或y=-x2+2x；

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