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2025-2026学年度第一学期第一次学情调研
初三数学试卷
本卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
3．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（）
A. B. C. D.
4．下列说法中，正确的是（）
A. 三点确定一个圆 B. 相等的弦所对的圆周角相等
C. 垂直于弦的直径平分弦 D. 圆的切线垂直于半径
5．如图，点、、在上，若，则的度数为（）
A. B. C. D.
6．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（）
A. B. C. D.
7．如图，是半圆直径，半径于点，平分交弧于点，连接、。下列的四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数有（）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是（）
A. B. C. D.
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．把一元二次方程化为一般形式是________．
10．一元二次方程的解为________．
11．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________．
12．已知圆锥的底面直径为，母线长为，它的侧面积为________．
13．已知关于的一元二次方程的解是，，则另一个方程的解是________．
14．若方程的两个根分别是，，则代数式的值为________．
15．高速公路的隧道和桥梁较多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此横截面所在圆的半径________米．
16．如图，量角器外缘上有、两点，它们的读数分别是、，则应为________°．
17．如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是________．
18．如图，中，，，，是上一点，是上一点，，若以为直径的圆交于、点，则的最大值为________．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
三、完成下列各题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）； （2）．
20．（8分）如图，在坐标系中，、、 ．
（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________；
（2）这个圆的半径长为________；
（3）判断点与的位置关系：点在________（填内、外、上）
（4）若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是________．
21．（8分）如图，中，弦，相交于点，．
求证：（1）；（2）．
22．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）证明：无论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值．
23．（10分）如图，内接于．
（1）若，的半径是，求的长；
（2）过点作的切线，求证：．
24．（10分）某商店准备销售一种多功能文件夹，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场调研发现，当每个文件夹的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个．当这种文件夹销售单价为多少元时，月销售利润是元．
25．（10分）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点．
（1）若，则两个同心圆组成的圆环面积为________；
（2）若以为圆心，长为半径画弧，交大圆于点，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由．
26．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，交于点，的反向延长线交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，的半径为，求的长度．
27．（12分）若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“差根方程”：
① ； ② ；（填是或否）
（2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值；
（3）若关于的方程（，是常数，）是“差根方程”，请求出与之间的数量关系式．
28．（12分）在一次数学探究活动中，吴老师设计了一份活动单：
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？
“远航”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决：
①该弧所在圆的半径长为________；②面积的最大值为________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点在第一象限，、两点分别在坐标轴上，若点是线段上一动点（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，求的取值范围．

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