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陕西省宝鸡实验高级中学2026届高三上学期第一次模考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列计算结果是的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数为偶函数，为奇函数，且满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
7.已知函数记，则( )
A. B. C. D.
8.已知是定义域为的奇函数，满足若，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选已知，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，且，那么下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
11.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )
A. 是的一个周期 B. 在上有个零点
C. 的最大值为 D. 在上是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ，函数的零点的个数为 ．
13.已知命题“”，则为 ；若是真命题，则的取值范围为 ．
14.已知曲线，两条直线、均过坐标原点，和交于、两点，和交于、两点，若三角形的面积为，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
在公差为的等差数列和公比为的等比数列中
求数列与的通项公式；
令，求数列的前项和．
17.本小题分
某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传月日至月日的步数信息教师甲、乙这七天的步数情况如图所示．
从月日至月日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；
从月日至月日中随机选取三天，记乙的步数不少于的天数为，求的分布列及数学期望；
根据月日至月日某一天的数据制作的全校名教职员工步数的频率分布直方图如图所示已知这一天甲与乙的步数在全校名教职员工中从多到少的排名分别为第名和第名，判断这是哪一天的数据只需写出结论．
18.本小题分
如图，边长为的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点．
求证：；
若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积；
设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的单调区间；
当时，函数的图像与的图像关于直线对称若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.

14.
15.由正弦定理得．
因为，所以，，．
因为在中，，所以，．
由，及余弦定理．
得，解得或舍
所以，．

16.根据题意，得，解得，则；
又得，解得，由得，，
则．
，
．
．

17.设“甲比乙的步数多”为事件，
在月日至月日中，只有月日和月日这两天甲比乙的步数多，
所以
由图可知，天中乙的步数不少于的天数有月日和月日这两天，
所以的所有可能取值为，
可得，，；
可得分布列为
所以；
由频率分布直方图可知，步数在各区间内的人数如下：
内的人数有人；
内的人数有人；
内的人数有人；
内的人数有人；
内的人数有人；
内的人数有人；
因为这一天甲与乙的步数在全校名教职员工中从多到少的排名分别为第名和第名，
所以甲的步数在区间内，乙的步数在区间内，
符合题意的只有月日这一天，所这是月日的数据．

18.因为正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点，
所以．
因为平面，平面，
所以．
因为平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
由可得平面，
所以直线和平面所成的角为，即．
因为正方形的边长为，
所以，
所以，，
所以．
过作，垂足为，
因为，
所以．
由等面积法可得，
所以．
易知圆柱的外接球的半径为，即，
所以，
所以直线与球的两个交点间的距离为．

19.当时，，则，
则切线方程的斜率，切点，
故切线方程为，即．
当时，，
则，，
，
当时，
小于零 等于零 大于零
单调递减 极小值 单调递增
则单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，
小于零 等于零 大于零 等于零 小于零
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
则单调递增区间为，单调递减区间为、；
当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，
小于零 等于零 大于零 等于零 小于零
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
则单调递增区间为，单调递减区间为、，
综上：当时，则单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，则单调递增区间为，单调递减区间为、；
当时，则单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，则单调递增区间为，单调递减区间为、．
当时，，
因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以，
因为对恒成立，
所以对恒成立，
整理可得对恒成立，
令，，则，
由有且仅有唯一的根为，
则所以，则，
大于零 等于零 小于零
单调递增 极大值 单调递减
则，解得．
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