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浙江省杭州市杭州西子实验学校2026届高三上学期9月摸底考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.二次函数满足条件与时的函数值相等，则时的函数值为( )
A. B. C. D.
4.设，不等式的解集为或，则( )
A. B. C. D.
5.已知定义域为的函数满足，则( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数为偶函数，为奇函数，且满足，则( )
A. B. C. D.
8.设，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定命题：，都有若命题为假命题，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知函数是幂函数，则( )
A. B.
C. 是偶函数 D. 当时，
11.若为奇函数，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 的一个周期为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.“”是“”的 条件．
13.，若，则 ．
14.已知，，且，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为的样本进行调查，并得到如下列联表：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意
不满意
合计
请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系．
附：，其中．
16.本小题分
已知函数为常数，
当取何值时，函数为奇函数；
当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，．
求角的大小；
若，求的面积．
18.本小题分
已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于的等比数列，且，．
求数列和的通项公式；
设，求的前项和．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．
求抛物线的方程；
当点为弦的中点时，求直线的方程；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.充分不必要
13.
14.
15.【详解】列联表如下：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意
不满意
合计
零假设为：满意程度与性别无关，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于．

16.【详解】若为奇函数，则，
即，
，，，解得：．
当时，，，
，
当时，，又在上单调递增，
当时，，
令，则方程在上有实根，
在上有实根，又在上单调递增，
，．

17.【详解】在中，由及余弦定理得，
而，
所以．
由，得，而，且，
则，解得，
所以的面积．

18.【详解】在等差数列中，，解得，而，
因此数列的公差，；
设等比数列的公比为，由，得，解得，
又，则，解得，而，因此，，
所以数列和的通项公式分别为，．
由得，
所以．

19.【详解】抛物线的焦点为，，即．
抛物线的方程为．
设，显然直线斜率存在．
设的方程为，
联立方程，消去，整理得，
因为点是的中点，由，解得．
所以直线的方程为即．
由抛物线定义可知
所以，
由知，
，
所以
所以当时，取得最小值为．

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