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2025-2026学年河北省部分高中高一上学期9月阶段性联合测评
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，有”的否定是( )
A. ，有 B. ，有
C. ，有 D. ，有
2.若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
3.若集合，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.设，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.某中学为丰富社团活动，对初一学生进行了关于是否愿意加入动漫社、志愿者社、篮球社的意向调查，要求每位学生至少选择一个社团．统计结果如下：有人愿意加入动漫社，人愿意加入志愿者社，人愿意加入篮球社；同时愿意加入动漫社和志愿者社的有人，同时愿意加入动漫社和篮球社的有人，同时愿意加入志愿者社和篮球社的有人；三个社团都愿意加入的有人．则参与此次意向调查的初一学生总人数为( )
A. B. C. D.
6.已知条件或，则使得条件成立的一个充分不必要条件是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
7.已知集合，则满足条件的集合的个数为( )
A. B. C. D.
8.若集合，集合，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合为有理数集，则下列式子表示正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列命题中，是真命题的为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若且，则
D. 若且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.比较大小： 填“”或“”
13.已知集合，若集合中只含有一个元素，则实数的取值范围为 ．
14.若命题“任意”为假命题，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，且．
求的值及集合；
设全集，求；
设全集，若非空集合，求所有集合的元素之和的总和．
16.本小题分
已知集合．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知．
求的取值范围；
求的取值范围；
求的取值范围．
18.本小题分
已知集合，集合．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”．
当时，写出集合的差倍集；
设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的；
若是由个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
把代入方程，解得，
当时，方程的解为或，
此时集合，符合，
所以，．
因为，，
所以．
因为，，
所以，
因为非空集合，
所以可能为，
所以所有集合的元素之和的总和为．

16.解：因为集合，所以，
又，集合，所以，解得，
所以．
因为，所以，
当，则，解得，
当，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是，即．

17.解：由于，
将两不等式相加可得；
由，得，
结合，可得，
即；
设，
则，解得
故，
由于，故，
故，
即．

18.解：因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围．
若时，
当时，即，可得；
当时，需满足或
解得舍或，即，
所以时可取其补集为．
若是的充分不必要条件，所以到是的真子集，
当时，由可得；
当时，，即，
又，解得，
又，所以．
综上，实数的取值范围为．

19.解：根据差倍集的定义，，
当，时，；
当，时，；
当，时，．
由集合中元素的互异性，可得．
已知，由集合中元素的互异性可知，且．
当时，的可能取值为或．
当时，，，，，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故．
当时，，，，，则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故．
当时，根据，，可得，，．
由于且，所以且，且．
因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论：
若，此方程无解；
若，解得，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故．
综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为或．
设，，．
根据，，则，，，，，．
不妨设，则，，，，，，由集合中元素的互异性，可得，元素个数为．
下证元素个数不少于：
将，，，，，这个值分别记为：
，，，，，．
从而有：
，即，
，即．
因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了个不同的值，如果差倍集中只有个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数．
先看：
若，则，即；
若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立；
若，则，即，与假设，矛盾，故不可能成立．
因此的取值只能等于，此时．
再看：
若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立；
若，则，即；
若，则，即，而在成立时，，由和可知，此时，与假设矛盾，故不可能成立．
因此的取值只能等于，此时，即．
再看，将代入，可得．
若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立；
若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立；
若，则，即，而在时，，与矛盾，故．
所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于，，的第四个数．
因此差倍集中元素个数的最小值为．

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