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2025-2026 学年郑州市中牟锐翰高级中学高二上学期第一次月考
数学试卷（乙卷）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点 (1, 2,3)关于 平面对称的点的坐标是( )
A. (1,2,3) B. ( 1, 2,3) C. (1, 2, 3) D. ( 1,2, 3)
2.已知空间向量 = (1,0,2)， = ( 2,1,3)，则 + 等于( )
A. ( 1,1, 1) B. (3, 1, 1) C. ( 1, 1,5) D. ( 1,1,5)
3.已知 = (2, 1,3)， = ( 4,2, )，且 // ，则实数 的值为( )
A. 6 B. 6 C. 3 D. 3
4.已知 = (1,1,0), = (0,1,1)，则 等于( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
5.已知 (1,2,3)， (4,5,6)，则向量 的坐标是( )
A. (3,3,3) B. (5,7,9) C. ( 3, 3, 3) D. (3,7,3)
6.已知 = (1,0, )， = 2， = (2, 1,0)，则 与 的夹角余弦值为( )
A. 2 B. 10 25 5 C. 5 D.
1
2
7.已知 = (1,2,3), = (2,4,6)，则下列结论正确的是( )
A. ⊥ B. = C. // D. | | = | |
8.在正方体 1 1 1 1中，与向量 1 相等的向量有( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量的说法，下列正确的是( )
A.零向量与任何向量平行
B.空间向量可以进行加法、减法和数乘运算
C.如果 = 0，那么 = 0或 = 0
D.两个相等的向量，它们的坐标也一定相同
10.已知向量 = (1,2,3)，则下列运算结果正确的是( )
A. 2 = (2,4,6)
B. = ( 1, 2, 3)
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C. = 14
D. 14 2 14 3 14的单位向量是± 14 , 14 , 14
11.已知空间向量 = (1,2, ), = (2, 1,4)，则下列结论正确的是( )
A.若 与 垂直，则 = 0 B.若 与 平行，则 = 8
C.当实数 = 4 时， 等于 D. 5当实数 = 时，使得 2
= 10
12.在空间直角坐标系 中，已知点 (1,2,3)，则下列叙述正确的是( )
A.点 关于 轴的对称点坐标是( 1,2,3)
B.点 关于 平面的对称点坐标是( 1, 2,3)
C.点 关于原点 的对称点坐标是( 1, 2, 3)
D.点 到 平面的距离是 3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
→ →
13.已知 = (3, 2,1)，则| | = ．

14.已知 (1,0,1), (2,1,3)，则 = ．
15.已知 = (2, 1,2), = (1,3, 1)，则 = ．
→ → → → → →
16.已知向量 = (1,1,0)， = ( 1,0,2)，若 + 与 2 垂直，则实数 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 12 分)
如图，在平行六面体 1 1 1 1中，设向量 = ，向量 = ，向量 1 = ， ， 分别是棱 1 1、
1 1的中点．
(1)用向量 , , 表示向量 1、向量 、向量 ；
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(2)证明 // ．
18.(本小题 12 分)
已知空间三点 (1,2,3), (2,4,1), (3,6, )．
(1)若 , , 三点共线，求实数 的值．
(2)若 ⊥ ，求实数 的值．
19.(本小题 14 分)
如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为坐标原点， , , 1分别为 轴、 轴、 轴正方向．
(1)建立空间直角坐标系，写出点 、 1、 的坐标．
(2)求向量 1的坐标．
(3)求向量 与 1的夹角．
20.(本小题 14 分)
已知四棱锥 的底面 是边长为 2 的正方形， ⊥底面 ，且 = 2， 是棱 的中点.以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求点 , , , , , 的坐标．
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(2)求直线 , 的方向向量与平面 的法向量
(3)证明： ⊥平面 ．
(4)求直线 与平面 所成角的度数．
21.(本小题 14 分)
在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， , , , 分别是棱 , , 1 1, 1 1的中点，点 , 在棱
1 , 1上移动，且 = = (0 < < 2)，
(1)当 为何值时，直线 1与平面 平行？请说明理由．
(2)当平面 与平面 垂直时，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 14
14. 6
15. 3
16. 52或 2
17.(1)在平行六面体 1 1 1 1中，
1 = + + 1 = + + 1 = + + ，
∵ ， 分别是棱 1 1、 1 1的中点，
∴ = 1 1 12 =
1
2
= 1 2
+ = 1 1 2 + 2 ，
= 1 + 1 = 1 +
1 2
= 1 2 + ，

(2)证明：由(1)知 = 12 ，
又 、 不共线，
所以 // ．
18.(1)由题意 = (1,2, 2), = (2,4, 3)，又 , , 三点共线，
1 = 2 = 2所以2 4 3，可得 3 = 4，故 = 1；
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(2)由(1)及 ⊥ ，则 = (1,2, 2) (2,4, 3) = 2 + 8 2( 3) = 0，所以 = 8．
19.(1)
因为正方体的棱长为 2， 为坐标原点，
则 的坐标为 (0,0,0)，
点 在 轴上，则 (0,2,0)，
点 1的坐标为 1(2,2,2)．
(2)由(1)可知， (0,2,0)， 1(2,2,2)，则 1 = (2,0,2)．
(3)因为 (0,0,0)， (0,2,0)，则 = (0,2,0)，
且 1 = (2,0,2)，则 1 = 0 × 2 + 2 × 0 + 0 × 2 = 0，
= 02 + 22 + 02 = 2， = 22 + 021 + 22 = 2 2，
1则 cos < , 01 > = = 2×2 2 = 0，1
且< , 1 > ∈ 0, π ，所以< ,
π
1 > = 2，
π
即向量 与 1的夹角为2．
20.(1)由底面 是边长为 2 的正方形， ⊥底面 ，且 = 2， 是棱 的中点，
根据题图知， (0,0,0), (0,2,0), (2,2,0), (2,0,0), (0,0,2), (1,0,1)；
(2)由(1)知，直线 , 的方向向量分别为 = (1,0,1)， = (0,2, 2)，
由 = (2,2, 2)， = (0,2,0)，若 = ( , , )是平面 的一个法向量，
= 2 + 2 2 = 0
所以 ，可取 = (1,0,1)；
= 2 = 0
(3)由(2)知 = = (1,0,1)，而 是平面 的一个法向量，所以 ⊥平面 ；

(4)由(2) |cos , | = | 2， | = = 1，
| || | 2 2× 2 2
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所以直线 1 π与平面 所成角的正弦值为2，而线面角的范围为[0, 2 ]，
π
所以直线 与平面 所成角为6．
21.(1)当 = 1 时直线 1与平面 平行，理由如下，
以点 为坐标原点， 、 、 1所在直线分别为 、 、 轴建立如下空间直角坐标系，
则 (2,2,0)、 1(0,2,2)、 (2,1,0)、 (1,0,0)， (0,0,1)，
1 = ( 2,0,2)， = ( 1,0,1)，则 1 = 2 ，故 1// ，
由 1 平面 ， 平面 ，因此 1//平面 ；
(2)由(1)知 (2,1,0)、 (1,0,0)、 (0,0, )、 (1,0,2)、 (2,1,2)，
设平面 的一个法向量为 = 1, 1, 1 ， = ( 1, 1,0)， = ( 1,0, )，
= 0 由 1 1
= 0

，可得 ，取 = ，则 = ( , , 1)，
= 0 11 + 1 = 0
设平面 的一个法向量为 = 2, 2, 2 ， = ( 1, 1,0)， = ( 1,0, 2)，

由 = 0
= 0
，可得
2 2
+ ( 2) = 0，取 2 = 2，则 = ( 2,2 , 1)， = 0 2 2
当面 与面 垂直时，则 ⊥ ．
且 = ( 2) (2 ) + 1 = 0，整理可得 2 2 4 + 1 = 0，0 < < 2 2，解得 = 1 ± 2 ．
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