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2025-2026 学年上海市七宝中学高一上学期期初练习数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = , , 中的元素是 的三边长，则 一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.图中阴影部分所表示的集合是( ). (全集 )
A. ∩ ∪ B. ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) C. ( ∪ ) ∩ D. ∪ ∩
3. 是一个完全平方数，则( )
A. 1 一定是完全平方数 B. 1 一定不是完全平方数
C. + 2 一定是完全平方数 D. + 2 一定不是完全平方数
4.已知 、 为非空数集， 为平面上的一些点构成的集合，集合 = 对任意 ∈ ,有( , ) ∈ Ω ，集合 =
对任意 ∈ ,有( , ) ∈ Ω ，给定下列四个命题，其中真命题是( )
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.请把命题“当两圆相切时，连心线过两圆的切点”改为“若 ，则 ”的形式： ．
6.已知正实数 , 满足 + = 1， = 2 + 2,求 的最小值为 ．
7.已知全集为 ，若 = 1,3,5,7,9 , = 2,4,6,8,10 , = 1,4,6,8,9 ，则 = ．
8.不等式|1 2 | < 3 的解集是 ．
9 2 1.关于 的不等式 2 ≥ 1 的解集为 ．
10 .已知集合 = { | = | | + | | + | | + | | , , , ∈ R{0}}，若用列举法表示 ，则 = ．
11 0 < < 1 1 1 .已知 ，且 = 1+ + 1+ , = 1+ + 1+ ，则 . (填> , ≥ , = , < , ≤中最恰当的一个)
12 .已知反比例函数 = ( ≠ 0)，当 < 0 时， 随 的增大而增大，那么一次函数 = 的图像不经过
第 象限
13.关于 的不等式 4 2 2 + 1 > 2 1 的解集为 ．
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14 1.关于 方程2 (
2 4 + 3 | 2 4 + 3|) = 有两个不同的根，则 的取值范围是
15 1.已知在 Rt 中， , 分别是斜边 上的高和中线， = , = 3( < 3).若 tan∠ = 3，则
= ．
16.已知集合 S 是由某些正整数组成的集合，并满足： ∈ ，当且仅当， = + ( , ∈ 且 ≠ )或 =
+ (正整数 , 且 ≠ ).则 = ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 13 分)
已知集合 = ∣2 ≤ ≤ 2 + , = ∞,1 ∪ 4, + ∞ ，全集为 ．
(1)当 = 3 时，求 ∩ , ∪ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 15 分)
如图，在边长为 6 的正方形 中，弧 的圆心为 ，过弧 上的点 作弧 的切线，与 、 分别相
交于点 、 ， 的延长线交 边于点 ．
(1)设 = ， = ，求 与 之间的函数解析式，并写出函数定义域；
(2)当 = 2 时，求 的长．
19.(本小题 16 分)
求证：
(1)若整数 满足 2能被 3 整除，则 也能被 3 整除；
(2) 3是无理数；
(3)3 2 + 3是无理数．
20.(本小题 17 分)
设 为非空集合，定义 × = ( , )∣ , ∈ (其中( , )表示有序对)，称 × 的任意非空子集 为 上的一
个关系.例如 = 0,1,2 时， × 与 (0,0), (2,1) 都是 上的关系.设 为非空集合 上的关系.给出如下定义：
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①(自反性)若对任意 ∈ ，有( , ) ∈ ，则称 在 上是自反的；②(对称性)若对任意( , ) ∈ ，有( , ) ∈ ，
则称 在 上是对称的；③(传递性)若对任意( , ), ( , ) ∈ ，有( , ) ∈ ，则称 在 上是传递的.如果 上
关系 同时满足上述 3 条性质，则称 为 上的等价关系.任给集合 1, 2, , ，定义 1 ∪ 2 ∪ ∪ 为 ∣ ∈
1,或 ∈ 2,或 , 或 ∈ ．
(1)若 = 0,1,2 ，问： 上关系有多少个？ 上等价关系有多少个？(不必说明理由)
(2)若集合 有 个元素( ≥ 1)， 的非空子集 1, 2, , (1 ≤ ≤ )两两交集为空集，且 = 1 ∪ 2 ∪ ∪
，求证： = 1 × 1 ∪ 2 × 2 ∪ ∪ × 为 上的等价关系．
(3)若集合 有 个元素( ≥ 1)，问：对 上的任意等价关系 ，是否存在 的非空子集 1, 2, , (1 ≤ ≤ )，
其中任意两个交集为空集，且 = 1 ∪ 2 ∪ ∪ ，使得 = 1 × 1 ∪ 2 × 2 ∪ ∪ × ？请
判断并说明理由．
21.(本小题 17 分)
20 世纪形式主义数学哲学流派的奠基人，数学家大卫 希尔伯特，在前人的研究基础之上，通过严格的公
理化方法重塑了欧几里得几何.在他的观点下，最简单的几何就是所谓的“相交几何”，即一个非空有限集
合 ( 的元素称为“点”)带上 的若干非空子集 1, 2, , ( 1, 2, , 均称为“线”，并称该子集组为“线
组”)，并满足下述三条：
( 1两点确定一条线)对于任意不同两点 , ∈ ，存在唯一的线 ，使得 ∈ 且 ∈ ；
( 2一线至少含两点)对于任意的线 ，存在不同两点 , ∈ ，使得 ∈ 且 ∈ ；
( 3总有三点不共线)存在不同三点 , , ∈ ，使得对任意的线 ， ∈ , ∈ , ∈ 不同时成立．
比如三元集 , , 带上其所有二元子集组 , , , , , ，就构成了一个相交几何．
(1)对于四元集 , , , ，请写出两种不同的线组，使之成为两种不同结构的相交几何．
(2)若一个相交几何 中的两不同线 1, 2满足 1 ∩ 2 = ，则称线 1, 2平行.问：在此意义下的两线平行是否
一定具有传递性？请判断并说明理由．
(3)是否存在某个相交几何 ，使 中点的总数大于线的总数？请判断并说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.若两圆相切，则这两圆的连心线过这两圆的切点(答案不唯一)
6.12/0.5
7. 2,3,5,7,10
8. 1 < < 2
9.( ∞, 1] ∪ (2, + ∞)
10. 4,0,4
11.>
12.三
13. ∞, 2 ∪ ( 1,1) ∪ 2, + ∞
14.( 1,0)
15. 10 1
16. + 1,2,4,7,10
17.【详解】(1)此时 = [ 1,5]，则 A ∩ B = [ 1,1] ∪ [4,5]，A ∪ B = [ 1,5]；
(2)当 = 时显然满足要求，故 2 > 2 + ，即 < 0;
2 ≤ 2 +
当 ≠ 时，则有 2 > 1，即 0 ≤ < 1.
2 + < 4
综上得 ∈ ( ∞,1)．
18.【详解】(1)根据切线长定理得 = = , = = ，且 = 6 , = 6 ，直角三角形
36 6
中由勾股定理得( + )2 = (6 )2 + (6 )2，化简得 = 6+ ，由 0 < 6 < 6，解得 0 < < 6，也
36 6
即函数定义域为(0,6).所以函数解析式为 = 6+ ∈ (0,6) ．
(2)当 = 2 时，由(1)知 = 3.以 为平面直角坐标系原点 , 分别为 , 轴建立平面直角坐标系，则
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(0,6), (6,0), (2,6), (6,3) 6 3 3 4，所以直线 的斜率为2 6 = 4，所以与 垂直的直线 的斜率为3，而
tan∠ = tan∠ = 43 =
3 9 9 5 5
，所以 = 4 = 2，所以 = = 2 2 = 2 .即 长为2．
19.【详解】(1)反证法：假设 不能被 3 整除，则 = 3 ± 1 ∈ Z ，
故 2 = (3 ± 1)2 = 3 3 2 ± 2 + 1，则 2不能被 3 整除，
与“ 2能被 3 整除”矛盾，
故假设不成立，原命题成立，即整数 满足 2能被 3 整除，则 也能被 3 整除；
(2) 3 3 = 反证：假设 为有理数，即 ，( , ∈ N, , ≥ 1, , 互质)，
则 2 = 3 2，即 2能被 3 整除，
2
故由(1)得 = 3 ′ ′ ∈ N, ′ ≥ 1 ，代回到 2 = 3 2得 2 = 3 ′ ，
同理有 = 3 ′ ′ ∈ N, ′ ≥ 1 ，即 , 均能被 3 整除，与“ , 互质”矛盾，
故假设不成立，则 3是无理数；
3 3 3 3(3)反证：假设 2 + 3 = 为有理数，则 2 = 2 = 3 = 3 3 3 2 + 9 3 3，
3+9 2
而 2 + 1 ≠ 0，故 3 = 3 2+1 ，
3+9 2
又有理数集关于四则运算封闭，故 3 2+1 ∈ Q，与“ 3为无理数”矛盾，
3
故假设不成立，则 2 + 3 = 为无理数．
20.【详解】(1)由题意得 × = (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), (2,0), (2,2), (1,2), (2,1) ，共有 9 个元素，则
有29 1 = 512 1 = 511 个非空子集，即 上的关系有 511 个.
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所有等价关系 1 = (0,0), (1,1), (2,2) ， 2 = (0,0), (1,1), (2,2), (0,1), (1,0) ， 3 =
(0,0), (1,1), (2,2), (0,2), (2,0) ， 4 = (0,0), (1,1), (2,2), (2,1), (1,2) ， 5 =
(0,0), (1,1), (2,2), (0,1), (1,0), (0,2), (2,0), (2,1), (1,2) ，共有 5 个.
(2)证明：令 = 1, 2, 3, , ( ≥ 1)，
因为 的非空子集 1, 2, , (1 ≤ ≤ )两两交集为空集，且 = 1 ∪ 2 ∪ ∪
设 ∈ (1 ≤ ≤ ≤ )，则除了集合 外，其余集合不包含 ．
则 , × ，又因为 × 1 × 1 ∪ 2 × 2 ∪ ∪ × ，则 , ∈ ，即
在 上是自反的．
设 , ∈ (1 ≤ ≤ ≤ )，则除了集合 外，其余集合不包含 , ．
则 , , , × ，又因为 × 1 × 1 ∪ 2 × 2 ∪ ∪ × ，则 , ∈
, , ∈ ，即 在 上是对称的．
设 , , ∈ (1 ≤ ≤ ≤ )，则除了集合 外，其余集合不包含 , , ．
则 , , , , , × ，
又因为 × 1 × 1 ∪ 2 × 2 ∪ ∪ × ，
则 , ∈ , , ∈ , , ∈ ，即 在 上是传递的．
综上所述， = 1 × 1 ∪ 2 × 2 ∪ ∪ × 为 上的等价关系
(3)令 = 1, 2, 3, , ( ≥ 1)，
因为 为 上的等价关系，则 为集合 × = ( , )∣ , ∈ 的非空子集．
因为 的非空子集 1, 2, , (1 ≤ ≤ )两两交集为空集，且 = 1 ∪ 2 ∪ ∪
设 ∈ (1 ≤ ≤ ≤ )，则除了集合 外，其余集合不包含 ．
则 ∈ ，必有 , ∈ ，则 × ．
设 , ∈ (1 ≤ ≤ ≤ ≤ )，则除了集合 外，其余集合不包含 , ．
则 , ∈ , , ∈ ，则 , ∈ ,必有 , ∈ ，故 × ，
设 , , ∈ (1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ )，则除了集合 外，其余集合不包含 , , ．
则 , , , , , ，则 , ∈ , , ∈ , , ∈ ，必有 , ∈ , , ∈
, , ∈ ，则 , ．
故，不管集合 (1 ≤ ≤ ≤ )中有几个元素，都能保证 × ，则 = 1 × 1 ∪ 2 × 2 ∪ ∪
× ．
综上所述，对 上的任意等价关系 ，存在 的非空子集 1, 2, , (1 ≤ ≤ )，其中任意两个交集为空集，
且 = 1 ∪ 2 ∪ ∪ ，使得 = 1 × 1 ∪ 2 × 2 ∪ ∪ × ．
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21.【详解】(1)线组 1: , , , , , , , , , , , ;
线组 2: , , , , , , , , .
(2)判断：否．
反例： = , , , , ，线组为 的所有二元子集构成的相交集合中，
取 1 = , , 2 = , ， 3 = , ，
则 1 ∩ 2 = , 2 ∩ 3 = ，即 1// 2且 2// 3，
但 1 ∩ 3 = { }，即 1与 3不平行，故平行不具有传递性．
(3)判断：否．
证明：任取相交几何 ，设其有 个点与 条线．
记 为过点 的线的总数， 为 ( = 1,2, , )中的最小值；
再记 为线 上点的总数， 为 ( = 1,2, , )中的最大值．
定义集合 = , ∣ ∈ ，并以| |表示 中元素的总数．
分别通过“先点后线”与“先线后点”算两次统计| |，
得 ≤ =1 = | | = =1 ≤ ( )．
讨论：1 ≥ :则由( )中 ≤ 及 ≥ 可得， ≥ × ≥ ，
2 < :取 中一元 使得过 的线的总数为 ，
取{ }中一元 使得 上共有 个点，
则由 < 可得 ∈ (否则 可与 上 个点连出 条不同的线(由( 1)保证)，
故过 的线的总数≥ > ，与“过 的线的总数为 ”矛盾)．
再取过 但不是 的另一线 ′，
使得 ′上点的总数是过 的线中除 外最多的(由( 3)得 ′的存在性)，
并记 ′上点的总数为 ．
分别统计 上点的总数与 外点的总数，得 ≤ + ( 1)( 1)①;
分别统计过 的线的总数与不过 的线(与 , ′分别都有交点的这部分)的总数，
又得 ≥ + ( 1)( 1)②.
由② ①得 ≥ ( )( 2) ≥ 0(由( 2)得 ≥ 2).
综上， ≥ .
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