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2025-2026学年河南省鹤壁市高中高一上学期第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则 ．
A. B. C. D.
2.已知命题：，，那么是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列五个写法：；；；；，其中错误写法的个数为( )
A. B. C. D.
4.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.已知集合，，，则集合的关系是( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，对于，若且，则称为的“孤立元”给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 命题，则命题的否定是
B. “”是“”的必要条件
C. 命题“”是真命题
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
10.下列说法正确的是( )
A. 不等式的解集为
B. 若实数，，满足，则
C. 若，则函数的最小值为
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
11.若，，则下列选项成立的是( )
A. B. 若，则
C. 的最小值为 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，集合，若，则实数 ．
13.已知命题：，，命题：，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是 ．
14.设是非空数集，若对任意，都有、，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题：
若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”；
若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”；
若是“完美集”，则可以是有限集；
若、都是“完美集”，则也是“完美集”．
其中说法正确的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若集合．
当时，求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知集合，集合．
若，求的值；
若，求的取值范围．
17.本小题分
为了持续推进“喜迎生物多样性，相约莞丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围斜线部分均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为平方米．
若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周及中间的宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
18.本小题分
已知．
当时，求的最大值；
当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知关于的二次函数．
若的解集为，求实数、的值；
若实数满足，求关于的不等式的解集．
已知二次函数有两个正实数零点，且满足，求的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：当时，，
则
当，即时，，符合题意，则；
当，即时，得，解得，
所以的取值范围是．

16.解：，，
，，
，
，
或，即或，
时，，，不满足，舍去，
时，，，满足题意，
；
，
，
，解得，
的取值范围为．
17.解：设草坪的宽为米，长为米，
由题意可得，，则，
又因为矩形草坪的长比宽至少多米，
则，即，解得，
由，
所以，
故草坪宽的最大值为米；
设草坪的宽为米，长为米，
由题意可得，，则，
因为草坪四周及中间的宽度均为米，
则整个绿化面的长为米，宽为米，
所以绿化面积为，
所以整个绿化面积的最小值为平方米．
18.解：因为，，，
所以有，
当且仅当时，取等号，即且时取等号，
所以的最大值为
因为，所以，
而，，
所以
．
，
当且仅当．时取等号，即且时取等号，
因此，要想不等式恒成立，
只需成立，即，解得．
19.解：的解集为或，
与是方程的两个实数根，
由韦达定理可知：
解得，．
，则不等式化为：，
因式分解为：，
当时，化为，则解集为；
当时，，解得，不等式的解集为；
当时，，解得，不等式的解集为；
当时，，解得或，不等式的解集为或．
因为二次函数有两个正实数零点，
所以，又，
可得，
也即，即，结合，
可得，解得，
所以
，
当且仅当即时取等号，
所以的最大值为．

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