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2025-2026学年河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学高一上学期
第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 2 2 > 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 2 2 ≤ 0 B. ∈ ， 2 2 2 ≤ 0
C. ∈ ， 2 2 2 > 0 D. ∈ ， 2 2 2 < 0
2.设集合 = ≥ 2 , = 1 ≤ ≤ 4 ，则 ∩ ( ) =( )
A. { ∣1 ≤ < 2} B. { ∣ ≤ 4} C. { ∣2 ≤ ≤ 4} D. { ∣ ≥ 1}
3.“ = 2”是“ 2 2 = 0”的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
4.集合 = 1,2 ， = { | 1 < < 5, ∈ }，则满足 的集合 的个数为( )
A. 4 B. 7 C. 15 D. 8
5.已知集合 = {1, | 1|, + 2}，且 2 ∈ ，则实数 的值为( )
A. 1 B. 0 C. 3 D. 1 或 3
6.已知集合 = 2 ≤ ≤ 5 ， = + 1 ≤ ≤ 2 1 ，若 为 的真子集，则 的取值范围是( )
A. | < 2 B. |2 ≤ < 3 C. | ≤ 3 D. |2 < ≤ 3
7.某校高一四班学生 46 人，寒假参加体育训练，其中足球队 25 人，排球队 22 人，游泳队 24 人，足球排
球都参加的有 12 人，足球游泳都参加的有 9 人，排球游泳都参加的有 8 人，问：三项都参加的学生数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.若“ 1 ≤ ≤ 4，使得 2 + + 1 ≥ 0”是假命题，则实数 的取值范围是( )
A. { < 9 } B. { < 3 } C. { > 9 } D. { > 3 }
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 , , ∈ ，则下列选项中正确的是( )
A.若 > ，则 > B.若 2 > 2，则 >
C.若 2 > 2，则 > D.若 > ，则 3 > 3
10.下列说法正确的是( )
A. { 是菱形} { 是正方形}
B.若 = { | = 2 + 1, ∈ }， = { | = 2 1, ∈ }，则 =
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C.集合 2,4,6 的真子集个数为 7
D. | 2 + 1 = 0, ∈
11.下列不等式恒成立的是( )
2 2
A. 2 + 2 2 ( , ∈ ) B. + + 2 2 ( > 0, > 0)
C. + 1 1 4( > 1) D.
+
+ > ( > > 0, > 0)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.写出“ ≥ 0”的一个必要不充分条件为 ．
13.已知 0 < < 2，1 < + < 3，则 3 + 的取值范围为 ．
14.已知正实数 , 满足 + = 4 1 + 4，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知：设 = 1,2,3,4,5,6,7,8 , = 2,4,5 , = 3,4,5 ，求：
(1) ∩
(2) ；
(3) ∪ ( U )
16.(本小题 15 分)
求下列各式的最值
(1)已知 0 < < 13，求 = (1 3 )的最大值．
(2) 4当 < 1 时，求 + 1的最大值；
17.(本小题 15 分)
已知 = 2 + 4 5 = 0 , = 2 + 2 + 1 = 0 ．
(1)若 中只有一个元素，求实数 的值，并用列举法表示集合 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }, = { | 2 < < 4}
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)设命题 : ∈ ，命题 : ∈ ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
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已知集合 = 1 < < 3 ，集合 = 2 < ≤ 1 ．
(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
(2)若命题“ ∈ ，都有 ∈ ”是真命题，求实数 的取值范围；
(3)若命题“ ∈ ， ∈ ”是真命题，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. > 1(答案不唯一)
13.(2,8)
14.94
15.1)解：由集合 = 2,4,5 ， = 3,4,5 ，根据集合交集的运算，可得 ∩ = 4,5 ；
(2)解：由集合 = 1,2,3,4,5,6,7,8 ， = 3,4,5 ，可得 = 1,2,6,7,8 ；
(3)解：由集合 = 1,2,3,4,5,6,7,8 ，且 = 2,4,5 ，可得 = 1,3,6,7,8 ，
所以 ∪ ( ) = 1,3,4,5,6,7,8 ．
16.(1)因为 0 < < 13，所以 1 3 > 0，
3 +1 3 2
则 = (1 3 ) = 3 (1 3 )3 ≤
2
3 =
1
12，
1
当且仅当 3 = 1 3 ，即 = 6时，取等号，
1
所以 = (1 3 )的最大值为12．
(2)因为 < 1，所以 ( 1) > 0，
则 + 4 1 = 1 +
4 4 4
1 + 1 = ( 1) + 1 + 1 ≤ 2 (1 ) 1 + 1 = 3，
当且仅当 1 = 4 41 ，即 = 1 时，取等号，所以 + 1的最大值为 3；
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17.(1)因为 = 2 + 2 + 1 = 0 只有一个元素，，
当 = 0 时， = 2 + 1 = 0 = 12 ；
当 ≠ 0 时，对于 2 + 2 + 1 = 0，有Δ = 4 4 = 0，解得 = 1，
把 = 1 代入集合 ，得 = 2 + 2 + 1 = 0 = 1 ；
综上， = 0 或 = 1，对应的集合 = 12 或 = 1 ．
(2)因为 = 2 + 4 5 = 0 = 5,1 ， ，
当 = 时，对于 2 + 2 + 1 = 0，有Δ = 4 4 < 0，解得 > 1；
当 = 1 时，将 = 1 代入 2 + 2 + 1 = 0，得 + 3 = 0，则 = 3，
此时 = 3 2 + 2 + 1 = 0 = 13 , 1 (舍去)；
9
当 = 5 ，将 = 5 代入 2 + 2 + 1 = 0，得 25 10 + 1 = 0，则 = 25，
此时 = 9 225 + 2 + 1 = 0 = 5,
5
9 (舍去)；
1 5 = 2
当 = 1, 5 ，则有 1，方程无解析，此时不存在 满足条件；1 × ( 5) =
综上， 的取值范围为 > 1 ．
18.(1)由 ∩ = ，可得 ，
因为 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }, = { | 2 < < 4}，
①当 = 时， 1 > 3 2 ，解得 > 43，符合题意；
1 ≤ 3 2
1 4
②当 ≠ 时，则 1 > 2，解得 2 < ≤ 3，
3 2 < 4
1
综上， > 2．
故实数 1的取值范围为 2 , + ∞ ．
(2)由题意可得， ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，故 是 的真子集，
又 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 < < 4}，
1 ≤ 2
则 3 2 ≥ 4，解得 ≤ 1，
故实数 的取值范围是( ∞, 1]．
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19.(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，则 是 的真子集，
2 ≤ 1
所以 1 ≥ 3，解得 ≤ 2，
所以实数 的取值范围为( ∞, 2]．
(2)若命题“ ∈ ，都有 ∈ ”是真命题，则 是 的子集．
当 = 时，满足 1，此时 2 ≥ 1 ，得 ≥ 3；
2 < 1
当 ≠ 时，若 ，则 2 ≥ 1，不等式组无解．
1 < 3
1
综上，实数 的取值范围为 3 , + ∞ ．
(3) 1方法一：“ ∈ ， ∈ ”是真命题，则 ∩ ≠ ，所以 ≠ ，所以 < 3．
2 < 3
所以 1 > 11，解得 < 0，所以实数 的取值范围为( ∞,0)． < 3
方法二：“ ∈ ， ∈ ”是真命题，则 ∩ ≠ ．
当 ∩ = 时，若 = ≥ 1，则 3；
1 1
若 ≠ < < 1，则 3或 3，解得 0 ≤ < ．
2 ≥ 3 1 ≤ 1 3
综上，当 ∩ = 时， ≥ 0．
所以当 ∩ ≠ 时， < 0，即实数 的取值范围为( ∞,0)．
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