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2025-2026学年广东省肇庆市碧海湾学校等两校高一上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 < < 4}， = { |2 < < 3}，则 ∩ = ( )
A. { |1 < ≤ 2} B. { |2 < < 3} C. { |3 ≤ < 4} D. { |1 < < 4}
2.设 ， ，则( )
A. B. C. = D. ∩ =
3.若 、 、 ∈ R， > ，则下列不等式中成立的是( )
A. 1 < 1 B.
2 > 2 C. 2+1 > 2+1 D. | | > | |
4.设 = 30.1， = log0.71.1， = log32，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.有三支股票 ， ， ，28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有 股票的
人中，持有 股票的人数是持有 股票的人数的 2 倍．在持有 股票的人中，只持有 股票的人数比除了持有
股票外，同时还持有其它股票的人数多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有 股票．则只持有 股票
的股民人数是( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
6.已知正实数 , 满足 + = 3 ，则 + 4 的最小值为( )
A. 9 B. 8 C. 3 D. 83
7.已知函数 ( )满足 ( + 2)关于直线 = 2 对称，且 ( + 2) = 1 ( )，当 2 ≤ ≤ 3 时， ( ) = log2( +
11
2 )，
219
则 ( 2 )的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3 3
8.设 > > 0，若 2 + 2 ≤ + ，则实数 的最大值为( )
A. 2 + 2 2 B. 4 C. 2 + 2 D. 2 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的有( )
A.命题 ： ∈ ， 2 + 3 + 4 < 0，则命题 的否定是 ∈ ， 2 + 3 + 4 > 0
B.“| | > | |”是“ > ”的必要不充分条件
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C.命题“ ∈ ， 2 > 0”是真命题
D.“ < 0”是“关于 的方程 2 2 + = 0 有一正一负根”的充要条件
10 + .设 ， 为两个正数，定义 ， 的算术平均数为 ( , ) = 2 ，几何平均数为 ( , ) = ，则有： ( , ) ≤
( , )，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家 . . 提出了“ 均值”，

即 ( , ) =
+
1+ 1，其中 为有理数．下列关系正确的是( )
A. 0.5( , ) ≤ ( , ) B. 0( , ) ≥ ( , )
C. 2( , ) ≥ 1( , ) D. +1( , ) ≤ ( , )
11.已知函数 = ( )是定义在[ 1,1]上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = ( 1)，则下列说法正确的是( )
A.函数 = ( )有 2 个零点
B.当 < 0 时， ( ) = ( + 1)
C.不等式 ( ) < 0 的解集是(0,1)
D. 1, 2 ∈ [ 1,1]，都有 1 2 ≤
1
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若函数 ( ) (log (2 1))的定义域是[0,3]，则函数 = 2 的定义域是 ．
2 2 3
13.已知集合 = { | 2 < ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}且 ∪ = ，则实数 的取值范围是 ．
14.设 max , , 1 1 1为实数 , , 中最大的数．若 > 0, > 0, > 0，则 max + , + , + 的最小值
为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设全集 = ，集合 = { | 2 < < + 2, ∈ }，集合 = { | 4 < < 4}．
(1)当 = 3 时，求 ∩ ， ∪ ；
(2)若命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面积
为 12 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲
工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 150
元，屋顶和地面以及其他报价共计 7 200 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为 米(2 ≤ ≤ 6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低
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(2) 900 (1+ )现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 元( > 0)，若无论左右两面墙
的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 2 + 2) 5 2 2( ∈ )是偶函数，且在(0, + ∞)上单调递增．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若 (2 1) < (2 )，求 的取值范围；
(3)若实数 ， ( ， ∈ +) 3 2满足 2 + 3 = 7 ，求 +1+ +1的最小值．
18.(本小题 17 分)
若对定义在 上的函数 ( ), ∈ ，存在 , .使得 ( + ) + ( ) = 2 恒成立，则 ( )的图象关于点
( , )对称，已知函数 ( ) = log 4+ 4 + + 2( > 0，且 ≠ 1)．
(1)证明：函数 ( )的图象是中心对称图形；
(2) 1 1 1 1求 2025 + 2024 + + ( 1) + (0) + (1) + 2 + + 2025 的值；
(3)当 = 2 时，求 ( )在[0,2]上的最小值．
19.(本小题 17 分)
对于给定集合 {( , )| ≥ 0， ≥ 0}，若存在非负实数 21， 2，对任意的( , ) ∈ 满足： 1(1 + )(1 +
2) ≤ ( + )(1 + ) ≤ (1 + 22 )(1 + 2)成立，则称集合 具有性质( 1, 2).
(1)证明：集合{( , )| ≥ 0 1， = 1}具有性质( 2 , 1);
(2)若集合{( , )| ≥ 0， ≥ 0， + = 1}具有性质( 1, 2)，求 2 1的最小值;
(3)若集合{( , )| ≥ 0， ≥ 0， 3 + 3 = 2}具有性质( 1, 2)

，求 1 的最大值．2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(3, 92 ]
13.( ∞,3]
14.2
15.解：(1)当 = 3 时， = { |1 < < 5}；
∴ ∩ = { |1 < < 4}， ∪ = { | 4 < < 5}；
(2)若 是 的充分不必要条件，则 ；
∴ 2 ≥ 4 + 2 ≤ 4 且等号不同时成立，解得： 2 ≤ ≤ 2，
所以实数 的取值范围是： 2 ≤ ≤ 2．
16.解：(1)设甲工程队的总造价为 元，
则 = 3(150 × 2 + 400 × 12 ) + 7200
= 900( + 16 ) + 7200(2 ≤ ≤ 6)，
900( + 16 ) + 7200 ≥ 900 × 2 ×
16
+ 7200 = 14400，
16
当且仅当 = ，即 = 4 时等号成立，
即当左右两面墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低为 14400 元．
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(2)由题意可得，900( + 16 ) + 7200 >
900 (1+ )
对任意的 ∈ [2,6]恒成立，
( +4)2
即 ，从而 > ， +1
即 + 1 + 9 +1 + 6 > 恒成立，
又 + 1 + 9 +1 + 6 ≥ 2 ( + 1)
9
+1+ 6 = 12，
当且仅当 + 1 = 9 +1，即 = 2 时等号成立，
所以 0 < < 12．
17.解：(1) ∵幂函数 ( ) = ( 2 2 + 2) 5 2 2( ∈ )是偶函数，且在(0, + ∞)上单调递增，
∴ 2 2 + 2 = 1，且 5 2 2 为正偶数，
∴ = 1， = 2，故 ( ) = 2．
(2) ∵ (2 1) < (2 )，∴ |2 1| < |2 |，∴ 4 2 4 + 1 < 2 4 + 4，
即 3 2 < 3，求得 1 < < 1．
故 的取值范围为 | 1 < < 1 ．
(3)若实数 ， ( , ∈ +)满足 2 + 3 = 7 = 7 1，∴ 2( + 1) + 3( + 1) = 12，即12 [2( + 1) + 3( + 1)] =
1，
3 2 1 3 2 1 +1 +1 1 +1
则 +1+ +1 = 12 [2( + 1) + 3( + 1)] ( +1 + +1 ) = 12 (6 + 4 × +1 + 9 × +1 + 6) = 1 + 12 (4 × +1 +
9 × +1 +1 )
≥ 1 + 1 × 2 4 +1 +1 112 +1 9 +1 = 1 + 12 × 2 × 6 = 2，当且仅当 = 2， = 1 时，等号成立，
3 2
故 +1+ +1的最小值为 2．
18.(1) 4+ 由题设， ( )的定义域为( 4,4)，设 ( ) = log 4 + ，
∈ ( 4,4), ( ) = log 4 = log 4+ 因为 4+ 4 + = ( )，
所以 ( ) + ( ) = 4， ( )的图象关于点(0,2)对称，
故函数 ( )的图象是中心对称图形．
(2)由(1)知， ∈ ( 4,4)，都有 ( ) + ( ) = 4 成立，又 (0) = 2，
1 1
所以 2025 + 2024 + + ( 1) + (0) + (1) +
1 1
2 + + 2025
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= 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 + 12025 2025 2024 2024 2 2 + ( 1) + (1) + (0) =
2025 × 4 + 2 = 8102．
(3) 1, 2 ∈ [0,2]，且 1 < 2，
4+ 4+
1 2 = log
1
2 4 + 2 1 + 2 log
2
2
1 4
+ 2 2 + 2
2
4+ 4+ 4+ 4
= log 12 4 log
2
2 4 + 2 1 = log
1 2
2 2 4 4+ 2 2 1 ,1 2 1 2
因为 4 + 1 4 2 4 1 4 + 2 = 8 1 2 < 0，
所以 4 + 1 4 2 < 4 1 4 + 2 ，
4 4 + > 0 4 1 4+ 2 < 1 log 4 1 4+ 又 21 2 ，所以 4+ 4 ，则 21 2 4+ 1 4
< 0，
2
因为 2 2 1 > 0，所以 1 2 < 0，即 1 < 2 ，
所以 ( )在[0,2]上单调递增，故 ( )在[0,2]上的最小值为 (0) = 2．
19.解：(1)即证明 ≥ 0，都有 1 + 2 ≤ ( + 1)2 ≤ 2(1 + 2)，
因为( + 1)2 (1 + 2) = 2 ≥ 0，所以( + 1)2 ≥ 1 + 2，
因为 2(1 + 2) ( + 1)2 = 2 2 + 1 = ( 1)2 ≥ 0，
所以( + 1)2 ≤ 2(1 + 2)，
所以集合{( , )| ≥ 0， = 1} 1具有性质( 2 , 1)；
(2)因为 ≥ 0， ≥ 0， + = 1，
(1 + 2)(1 + 2) = 1 + 2 + 2 + 2 2
= 1 + ( + )2 2 + ( )2
= 2 2 + ( )2 = (1 )2 + 1，
令 = 1 + + 1 5，因为 ≤ 2 = 2，所以 ∈ [1, 4 ]，
于是 ∈ [1, 54 ]，有 [(2 )
2
1 + 1] ≤ ≤ 22[(2 ) + 1]成立，
≤ 即 1 (2 )2+1 ≤ 2，
也就是 ∈ [1, 5 ] 14 ，有 1 ≤ ≤ 成立， +5 4
2
令 ( ) = + 5 4， ∈ [1,
5
4 ]，
( ) [1, 5 ] 5 5因为 在 4 上单调递减，所以4 = ( 4 ) ≤ ( ) ≤ (1) = 2，
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1
从而2 ≤
1 ≤ 4，
+5 4
5
4 1
所以 2 ≥ 5，当且仅当 = = 2时取等，
1 ≤
1
2，当且仅当 = 0 或 = 0 时取等，
≥ 4 1 = 32 1 5 2 10，所以 2
3
1的最小值为10；
(3) ≤ ( + )(1+ )由题意 1 (1+ 2)(1+ 2) ≤ 2，
注意到( + )(1 + ) = + 2 + + 2 = (1 + 2) + (1 + 2)，

所以 2 ≥ 1+ 2 + 1+ 2，
又 1 + 2 ≥ 2 ，1 + 2 ≥ 2 ，
所以 ≥ 1+ 1 = 1，当且仅当 = = 1 取等(满足 3 + 32 2 2 = 2)，
所以 2的最小值为 1，
因为 ≥ 0， ≥ 0， 3 + 3 = 2，
所以 2 = 3 + 3 ≥ 2 3 3，于是 0 ≤ ≤ 1，
又 2 = 3 + 3 = ( + )[( + )2 3 ]，
3
令 = + ， = ，则 ( 2 3 ) = 2 = 2，即 3 ，
3 2 3
又 0 ≤ ≤ 1，所以 0 ≤ 3 ≤ 1，解得 2 ≤ ≤ 2，
( + )(1+ ) ( + )(1+ )
所以(1+ 2)(1+ 2) = ( + )2+(1 )2
(1+ ) (1+ )
= 2 ≥ + (1 )2 2 +1
3
(1+ 2 3
= 3
) +3 2
2+1 = 3( 2+1)，
3
( ) = +3 2 3令 2+1 ， ∈ [ 2, 2]，

4+4 +3
则 ′( ) = ( 2+1)2 > 0，
于是 ( ) 3在[ 2, 2]上单调递增，
3
(3又 2) = 3 2 ，
(3 2)2+1
( + )(1+ ) ≥ ( ) (
3 2) 3 2
所以(1+ 2)(1+ 2) 3 ≥ 3 = (3
，
2)2+1
当且仅当 = 0 3 3， = 2或 = 2， = 0 时等号成立，
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3
所以 21的最大值为 3 2 ，( 2) +1
又 2的最小值为 1，
3
所以 1
2
的最大值为 3 2 ．2 ( 2) +1
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