资源简介

2025-2026学年湖北省荆州市沙市第七中学高二上学期 9月调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某高中三个年级共有学生 1200 人，其中高一 500 人，高二 400 人，高三 300 人，该校为了解学生睡眠
情况，准备从全校学生中抽取 60 人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二年
级应抽取的人数是( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
2 2025.已知 = 1 i ，则在复平面内， 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图，在 中， 为 的中点， 是线段 上的一点，若 = + (1 2 ) ，则 =( )
A. 16 B.
1 C. 14 3 D.
1
2
4.同时投掷两枚骰子，计算向上的点数之和，则以下各数出现概率最大的是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.在 中，满足 2 = 2 + 2 + 3 ，则 =( )
A. 150° B. 30°或 150° C. 60° D. 60°或 120°
6.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件 ，“出现的点数大于 4”为事件 ，则
下述正确的是( )
A. 与 对立 B. 与 互斥 C. 与 相互独立 D. ( + ) = ( ) + ( )
7.甲口袋内装有除颜色外均相同的 8 个红球和 4 个白球，乙口袋内装有除颜色外均相同的 9 个红球和 3 个
5
白球，从两个口袋内各摸出一球，那么12等于( )
A.两个球都是白球的概率 B.两个球中恰好有一个是白球的概率
C.两个球都不是白球的概率 D.两个球不都是红球的概率
8.设 是 内一点，且 = 4 3，∠ = 30°，定义 ( ) = ( , , )，其中 、 、 分别是 、
、 的面积，若 ( ) = (1, , ) 1 4，则 + 的最小值是( )
A. 8 B. 9 C. 16 D. 18
第 1页，共 8页
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数，又在(0, + ∞)上单调递增的是( )
A. = 2 + 2 B. = 1
C. = lg| | + 1 D. = 1, > 0 + 1, < 0
10.已知向量 = (3, 2)， = (1, )，则下列说法正确的是( )
A.若 ⊥ 3，则 的值为2
B.若 // 3，则 的值为 2
C. 0 < < 3若 2，则 与 的夹角为锐角
D.若 + 2 ⊥ 2 ，则 2 = 5 + 2
11.已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，下面四个结论正确的是( )
A. = π若 3， = 3，且
3
有两解，则 的取值范围是 2 , 3
B.在锐角 中，不等式 cos > cos 恒成立
C. cos = cos 若sin sin ，则 为等腰三角形
D.若∠ = 120°， = 3，则 + 的最大值为 2 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 ， 两个事件相互独立，且 ( ) = 0.6， ( ) = 0.7，则 ( ) = ．
13.某中学举行数学解题比赛，其中 6 人的比赛成绩分别为：68,92,86,90,79,96，则这 6 人成绩的 75％分位
数与极差之和是 ．
14 2.如图，在 中，已知 = 3 ， = 3 ， 是线段 与 的交点，若 = + ，则 +
的值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
第 2页，共 8页
已知向量 = (2,3), = ( 4, )．
(1)若 = 1，求| |；
(2)若( + )// ，求 ；
(3)若 = 2，求 在 方向上投影向量的坐标．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3sin cos + sin2 cos2 ( ∈ )．
(1)求函数 ( )的单调增区间；
(2) ∈ , = 2若 2 2 ，且 2 3，求 cos 的值．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 sin = 3 sin sin 3 cos cos ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 6，且 = 4，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从
中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组(50 ≤ < 60,60 ≤ < 70,70 ≤
< 80,80 ≤ < 90,90 ≤ ≤ 100)，其中第 1 组的频数的平方为第 2 组和第 4 组频数的积.请根据下面尚未
完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰 60%的同学，仅留 40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多
少合理？
(2)从样本数据在 80 ≤ < 90，90 ≤ < 100 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再
从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的分数： 1, 2, 3, , 10，已知这 10 个分数的平均数 = 90，
标准差 = 5，若剔除其中的 96 和 84 两个分数，求剩余 8 个分数的平均数与方差．
19.(本小题 17 分)
第 3页，共 8页
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， = = 1，∠ =
2π
3 , 是棱 上的一点，且满
足 = 3 , 1与 1 相交于点 ．
(1)证明： 1 ⊥平面 1 ；
(2)求二面角 1 的余弦值；
(3)求直线 1与平面 1 所成的角的正弦值．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.42/2150
13.120
14. 910
15.【详解】(1) = 1 时， = (2,3), = ( 4,1)，所以 = (6,2)，
故| | = 62 + 22 = 2 10．
(2) + = ( 2,3 + )，
由( + )// ，可得 = 6 + 2 ，
解得 = 6．
(3) = 2 时， = ( 4,2)，

此时 8+6 2 1在 方向上的投影向量的坐标为 × =| | | | 20 × ( 4,2) = 5 , 5 ．
16.【详解】(1) ( ) = 2 3sin cos + sin2 cos2 = 3sin2 cos2 = 2sin 2 6

令 2 + 2 ≤ 2 6 ≤
+ 2 ∈ 2 ， ，得 6 + ≤ ≤

3 + ， ∈
( ) + , 所以函数 的单调增区间为 6 3 + ， ∈ Z．
(2) 由 2 =
2 1
3可得 sin 6 = 3，
又因为 ∈ 2 2 , 2 ，所以 6 ∈ 3 , 3
第 5页，共 8页
而 sin = 1 > 0 6 3 ，所以 6 ∈ 0, 3 ，
2
所以 cos = 1 sin26
= 2 26 3 ；

所以 cos = cos 6 +

6 = cos

6 cos

6 sin

6 sin

6
= 2 2 × 3 1 1 2 6 13 2 3 × 2 = 6 ；
17.【详解】(1)因为 sin = 3 sin sin 3 cos cos ，
由正弦定理得sin2 = 3sin sin sin 3sin cos cos ，
又因为 0 < < π，则 sin ≠ 0，
可得 sin = 3 sin sin cos cos = 3cos( + )，
因为 + = π ，则 cos( + ) = cos π = cos ，
可得 sin = 3cos ，
显然 cos ≠ 0，则 tan = 3 = π，所以 3．
2 2 2 2 2
(2)因为 = cos = 4，且 = 6 且 cos = + + 362 = 2 ，
2+ 2 36
可得 2 = 4，即
2 + 2 = 44①.
又因为 2 = 2 + 2 2 cos ，可得 2 2 = 2 2 cos = 36 6 ②.
联立①②可得 2 3 4 = 0，解得 = 4 或 = 1(负根舍去)，
1
所以 的面积为 = 2 sin =
1
2 × 4 × 6 ×
3
2 = 6 3．
18.【详解】(1)由第 1 组的频数的平方为第 2 组和第 4 组频数的积可知，0.162 = 0.8 ，
解得 = 0.032，
又(0.008 + 0.016 + 0.032 + 0.04 + ) × 10 = 1，解得 = 0.004，
所以 = 0.032， = 0.004，
成绩落在[50,70)内的频率为：0.16 + 0.32 = 0.48，
落在[50,80)内的频率为：0.16 + 0.32 + 0.40 = 0.88，设第 60 百分位数为 ，
则( 70)0.04 = 0.6 0.48，解得 = 73，所以晋级分数线划为 73 分合理；
(2)由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取 4 人和 2 人，分别记为 ， ， ， 和 ， ，
则所有的抽样有： = ( , , , , , , , , , , , , , , )，共 15 个样本点，
=“抽到的两位同学来自不同小组”，
则 = , , , , , , , 共 8 个样本点，
第 6页，共 8页
所以 ( ) = 815．
(3)因为 = 90，所以 1 + 2 + … + 10 = 10 × 90 = 900，
1
所以 2 = 10
2 2 2 2 2
1 + 2 + + 10 90 = 5 ，
所以 21 + 22 + + 210 = 81250，
剔除其中的 96 和 84 两个分数，设剩余 8 个数为 1， 2， 3，…， 8，
平均数与标准差分别为 0， 0，

则剩余 8 个分数的平均数： = 1+ 2+ 3+ + 8 = 900 96 840 8 8 = 90，
1
方差： 20 = 8
2
1 + 22 + + 28 902 =
1 2 2 2
8 81250 96 84 90 = 22.25
2
19. 2 4 2π 4【详解】(1) 2 = = 2 + 2 2 cos = 23 9 3 3 ，
π 2π
∠ = 3 = π π2 6，则
2 = 2 + 2 2 cos 6
= 4 2 + 23 3 ×
2 3
3 =
1
3
2，
1
则 2 + 2 = 23 +
2 = 43
2 = 2，故 ⊥ ，
由 1 ⊥平面 ， 1// 1，则 1 ⊥平面 ，
又 平面 、 平面 ，故 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
又 = 1，则 = 1，故四边形 1 1为正方形，则 1 ⊥ 1 ，
又 1 ∩ = ， 1、 平面 1 1 ，故 ⊥平面 1 1 ，
又 1 平面 1 1 ，故 ⊥ 1，
又 、 1 平面 1 ，且 ∩ 1 = ，故 1 ⊥平面 1 ；
(2)过点 作 ⊥ 1 于点 ，过点 作 ⊥ 1 ，交 于点 ，
则∠ 即为二面角 1 的平面角，
2 = 2 + 2 = 1由 2 + 2 2 = 71 1 3 3
2，则 1 =
21
3 ，
第 7页，共 8页
sin∠ = = 1 = 1 = 2 3 14则 ，则有1 1 21
3 = 7
，
3
1
cos∠ = =
2
3
2 21
，则有 =1
= 21 = ，1
3
21
21
tan∠ = 1 = ，则有 =
1
=
21
2 3 =
7
14 ，
3
21 7
sin∠ = = 1 = 1 3

，则有 = 14
3
1 1
= 6 ，
3
cos∠ = = 3 = 1 2 3 ，
3
2
则 = 2 + 2 2 cos∠ = 12 ，
14 2 7 2 1
2 2 2 + 2+ 1 1
故 cos∠ = + = 7 14 4 7 28 4 22 =2× 14 7 2
= 4 ，
7 ×14 7
2
即二面角 1 的余弦值为 4 ；
(3)取线段 1 上靠近点 1的三等分点 ，连接 ，连接 ，
由 = 3 ，则 1// ，由(1)知 1 ⊥平面 1 ，
故∠ 等于直线 1与平面 1 所成角，
由 平面 1 ，则 ⊥ ，
= 1 1 1 22 1 3 1 = 6 1 = 6 ，
= 2 + 2 = 1 2 + 1 2 = 303 2 6 ，
2
tan∠ = 6
15
则 = 30 = ，
6
15
1
sin∠ = sin
2∠ tan2∠
则 15
1
sin2∠ +cos2∠ = tan2∠ +1 = 1 = 4，
15+1
1
即直线 1与平面 1 所成的角的正弦值为4．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑