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2024-2025 学年南京师范大学附属实验学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 10 = 10 × 9 × 8 × 7 × 6，则 的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2 1 3.已知 ( ) = 2， ( ) = 5，则 等于( )．
A. 5 B. 9 C. 3 D. 16 10 10 10
3.已知随机变量 2, 2 ， ( < 1) = 0.3，则 ( < 3) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
4.如果记录了 ， 的几组数据分别为(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7)，那么 关于 的经验回归直线必过点( )
A. (2,2) B. (1.5,2) C. (1,2) D. (1.5,4)
5.某省新高考采用“3 + 1 + 2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为
首选科目，考生须在物理、历史科目中选择 1 个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、
生物 4 个科目中选择 2 个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有( )
A. 4 种 B. 6 种 C. 8 种 D. 12 种
6.已知一批产品的次品率为 0.3，从中有放回地随机抽取 50 次， 表示抽到的次品的件数，则 =( )
A. 9.5 B. 10.5 C. 11.5 D. 12.5
7.直线 的一个方向向量为( 2,1, 1)，平面 的一个法向量为 = (3,3, 3)，则( )
A. // B. ⊥
C. // 或 D. 与 的位置关系不能判断
8 1.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是2，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为
100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是 0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为( )
A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0.25
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1, 1, )， = ( 2, 1,2)，则下列结论中正确的是( )
A.若| | = 2，则 =± 2
B.若 ⊥ ，则 = 1
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C.不存在实数 ，使得 =
D.若 = 1，则 + = ( 1, 2,2)
10.已知 的分布列为
0 1 2
1 1
3 4
则下列说法正确的有( )
A. ( = 2) = 5 212 B. ( > 0) = 3
C. ( ) = 1 D. ( = 0) < ( = 2)
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1，下列四个结论中正确的是( )
A.直线 1 与直线 1所成的角为 90°
B.直线 1 与平面
3
1所成角的余弦值为 3
C. 1 ⊥平面 1
D. 3点 1到平面 1的距离为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
5
12.已知 2 + 的展开式中，
3的系数为 80，则 = ．
13.有一批产品，其中有 6 件正品和 4 件次品，从中任取 3 件，其中次品的件数记为 ，则次品件数 的期
望为 ．
14.现有 5 双鞋子，从中任取 4 只鞋子，则取出的 4 只鞋子中，恰好有 1 双的取法总数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
+ 2

已知 的展开式中共有 9 项．
(1)求 的值；
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(2)求展开式中 4的系数；
(3)求二项式系数最大的项．
16.(本小题 15 分)
已知空间向量 = (2,4, 2), = ( 1,0,2), = ( , 2, 1)．
(1)若 // ，求 ；
(2)若 ⊥ ，求 cos , 的值．
17.(本小题 15 分)
3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(2)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(3)全体站成一排，男生彼此不相邻．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， ， ⊥ ， = = 2， = = 1，
2
为 上一点，且 = 3 . (请用空间向量法予以证明)
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求证： //平面 ．
19.(本小题 17 分)
某生物公司将 型病毒疫苗用 100 只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射 10
注射 40
总计 50 50 100
1
现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为2．
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(1)能否有 99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？
(2)现从感染病毒的小白鼠中任取 3 只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为 ，求 的分布列和数学
期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ 0) 0.10 0.010 0.001
0 2.706 6.635 10.828
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.1.2
14.120
15.【详解】(1)由题意得 + 1 = 9，解得 = 8．
(2) (1) 2
8 2
由 可知 + 展开式的通项为
8 8 2
+1 = C8 = 2 C8 ．
令 8 2 = 4，解得 = 2，则 3 = 22C2 4 48 = 112 ．
故展开式中 4的系数为 112．
(3)根据题意可得二项式系数最大的项为 4 4 05 = 2 C8 = 1120．
16.【详解】(1)空间向量 = (2,4, 2)， = ( 1,0,2)， = ( , 2, 1)，
因为 // ，所以存在实数 ，使得 = ，
= 2
所以 2 = 4 ，解得 = 1，所以 = (1,2, 1)，
1 = 2
则 = 12 + 22 + ( 1)2 = 6．
(2)因为 ⊥ ，则 = + 0 2 = 0，解得 = 2，
所以 = ( 2,2, 1)，
故 cos , = =
2×2+2×4+( 1)×( 2) 6
4+16+4× 4+4+1 = 6 ．
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17.【详解】(1)先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余 5 个人在剩余五个位置全排列，
所以有A25 A55 = 2400 种.
(2)相邻问题，利用捆绑法，共有A3 4 23 A4 A2 = 288 种.
(3)即不相邻问题，先排好女生共有A44种排法，男生在 5 个空中安插，共有A35种排法，
所以共有A44 A35 = 1440 种.
18.【详解】(1)证明：如图，以 为原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直
角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (1,1,0)， (0,1,0)， (0,0,2)，
所以 = (1,1, 2)， = (0,0,2)， = (1, 1,0)，
因为 = 2 ，所以 3 =
2 , 2 4 3 3 , 3 ，所以 =
+ = 23 ,
2 2
3 , 3 ，
所以 = 2+ 2 4 2 23 3 3 = 0，
= 3 3 + 0 = 0，
所以 ⊥ ， ⊥ ，即 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 ∩ = ， , 平面 ．
所以 ⊥平面 ．
(2)证明：由(1)可得 = = 2 , 2 , 2 (2,0,0) = 4 , 2 , 2 ， = (0,0, 2)， 3 3 3 3 3 3 = ( 2,1,0)．
→
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
则 · = 0
2 1 + 1 = 0,
，即 4 + 2 + 2 = 0,令 1 = 1，得 = 2， · = 0 1 1
= 0，
3 1 3 1 3 1
→
则 = (1,2,0)是平面 的一个法向量，
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因为 = (0,0, 2) (1,2,0) = 0，所以 ⊥ ，
因为 平面 ，所以 //平面 ．
19.【详解】解：(1)由条件知， = 40， = 10， = 50， = 50，
100×(10×10 40×40)2∴ 2 = 50×50×50×50 = 36 > 10.828，
故有 99.9％的把握认为注射此型号疫苗有效．
(2) 的可能取值为 0，1，2，3，
3 0 2 1
( = 0) = 40 103 =
247
490， ( = 1) =
40 10 = 195
350 50 490
，
( = 2) =
1 2 0 3
40 10 45
3 = 490， ( = 3) =
40 10 3
3
=
50 50 490
．
∴ 的分布列为
0 1 2 3
247 195 45 3490 490 490 490
∴ ( ) = 0 × 247 + 1 × 195数学期望 490 490 + 2 ×
45 3 3
490 + 3 × 490 = 5
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