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2025-2026 学年上海市嘉定区第二中学高二上学期第一次质量检测考
试数学试卷
一、选择题（本大题满分 18 分，第 1,2 题每题 4分，第 3,4 题每题 5 分)
1.已知两条不重合的直线 、 ，两个互不重合的平面 、 ，给出下列命题：
①若 ⊥ ， ⊥ ，且 ⊥ ，则 ⊥ ；②若 // ， // ，且 // ，则 // ；
③若 ⊥ ， // ， ⊥ ，则 ⊥ ；④若 ⊥ ， // ，且 // ，则 // ．
其中正确命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2
2.在 中，若 = ，则 是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
3.如图，在 中，点Р在 所在平面外，点 是 在平面 上的射影，且点 在 的内部．若 ，
， 两两垂直，那么点О是 的( )
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
4.《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？
答曰：四万六千五百尺”.所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑
堵”， = = 2, 1 = 4, 是 1 1的中点，过 , , 三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一
个为三棱台，给出下列四个结论：
①过 , , 三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形
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17 51
②该三棱台的表面积为 2 + 6 2 + 2
③二面角 21的正切值为 4
81
④三棱锥 的外接球的表面积为 4 π
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题满分 54 分，第 5-10 题每题 4 分，第 11-16 题每题 5 分)
5.复数(1 + 2 )(1 3 )的虚部为 ．
6.已知 sin = 13，则 cos +
π
2 = ．
7.已知圆柱底面圆的周长为 2 ，母线长为 4，则该圆柱的体积为 ．
8.直线 = 与函数 = tan3 的图象的相邻两个交点的距离是 ．
9.如图是水平放置的 的斜二测直观图，已知 = 1， = 3，则 边的实际长度为 ．
10.若一个圆锥的高为 2，侧面积为 2 2π，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 ．
11.已知长方体 1 1 1 1的长、宽、高的和为 384， 1的长为 366，则该长方体的表面积为 ．
12.已知正四棱柱 1 1 1 1的底面边长为 1，高度为 2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点 爬到点 1
的最短距离是 ．
13.在四面体 中， = ， , 分别为 , 的中点，若异面直线 与 所成的角为 60°，则异面直
线 与 所成的角为 ．
14.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百
姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台 1 1 1 1， = 2，
1 1 = 4，侧面面积为 12 3，则该正四棱台的体积为 ．
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15.如图，圆锥型容器内盛有水，水深 2cm，水面直径 3cm 放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁
球的体积为 cm3．
16.在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， = 2，三棱锥 外接球的表面积为 16π，则二
面角 正切值的最小值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 13 分)
已知向量 = (2,3)， = ( , 1)， = (2,1)．
(1)若 ， 所成角为钝角，求 的取值范围；
(2)若 ⊥ ，求 在 上的投影向量(结果用坐标表示)．
18.(本小题 15 分)
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， sin +2sin cos ， ，且 = 2sin ．
(1)求 的大小；
(2)若 = 2 2， 的面积为 2 3，求 的周长．
19.(本小题 16 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， // , ⊥ , = = 1, = 2, ⊥平面
，四棱锥 体积为 1．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求平面 绕直线 旋转一周所得的几何体的体积．
20.(本小题 17 分)
π
已知函数 ( ) = sin( + ), > 0, > 0, | | < 2 的图象，如图所示：
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(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = ( )( > 0) π π在 2 , 3 上是严格增函数，求实数 的最大值．
(3) = ( ) π将函数 的图象向右移动6个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的 (0 < < 1)倍
得到 = ( )的图象，若 = ( )在区间[ 1,1]上至少有 30 个最大值，求实数 的取值范围．
21.(本小题 17 分)
长方体 1 1 1 1中，底面 为边长为 2 的正方形， 1 = 6，点 在棱 1上，且 1 = 3 ．
(1)求三棱锥 1 的体积；
(2)求直线 与平面 1 1 所成角的正切值；
(3)过线段 作一个与底面 0 ≤ < π成 2 角大小的截面，求截面的面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 1
6. 13
7.4π
8.π 13/3
9. 13
10. 2π
11.13500
12.2 2
13.60°或 30°
14.28 23
15. 910π
16.2 3 23 /3 3
17.【详解】(1) ∵ ， 所成角为钝角，∴ = 2 3 < 0 < 32，
又 // 时，3 + 2 = 0 = 23，此时 ，
所成角为π，
∞, 2 ∪ 2 , 3所以 的取值范围为 3 3 2 ．
(2) ∵ ⊥ ， = (2 , 2)，
∴ = 2(2 ) + 6 = 0 = 5， = (5, 1)，

所以 在 上的投影向量为 cos , = = 7 26 (5, 1) =
35 7
26
, 26 ．
18. sin sin +2sin cos 【详解】(1)由题意得sin = 2sin ，
因为 ∈ (0, ), ∴ sin ≠ 0，
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所以 sin + 2sin cos = 2sin = 2sin( + ) = 2sin cos + 2cos sin ，
得 sin = 2sin cos ，得 cos = 1 2，因为 ∈ (0, )，所以 = 3．
(2)由 1 = 2 sin = 2 3，得 = 8．
2
cos = +
2 2 1
由余弦定理 2 22 = 2，得 + 8 = ，
得( + )2 = 3 + 8 = 32，
得 + = 4 2，
所以 的周长为 6 2．
19.【详解】(1)由 ⊥平面 ， 平面 ，故 ⊥ ，
且 为四棱锥 的高，
1 (1+2)×1
则 = 3 × 2 × = 1，解得 = 2，
= 2 + 2 = 2，则 = 2 + 2 = 6，
= 2 + 2 = 2 2，
由底面 是直角梯形， // ，故 ⊥ ，
又 = ， ⊥ π，故∠ = ∠ = 4，
则∠ = π π = π，故 = 22 4 4 +
2 2 cos π4 = 2，
有 2 + 2 = 2 1，故 = 2 × × = 3，
设点 到平面 的距离为 ，
1 2×1 1 2 3则 = = 3 × 2 × 2 = 3 × 3 ，解得 = 3 ，
2 3
即点 到平面 的距离为 3 ；
(2)由 ⊥平面 ， 平面 ，
则平面 绕直线 旋转一周所得的几何体为以 为母线、
为底面半径的圆锥挖去一个以 为母线、 为底面半径的圆锥，
1 1 4π
故所得的几何体的体积 = 1 2 = 3 × π
2 × 3 × π
2 × = 3．
20. π【详解】(1)设函数 ( ) = sin( + ), > 0, > 0, | | < 2 的最小正周期为 ，
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观察图象可得函数 ( )的最大值为 2，最小值为 2 3 = 5π π 3π，4 6 12 = 4 ，
所以 = π，
= 2 2π所以 ， = π，
所以 = 2，
π π
又 12 = 2，所以 2sin 2 × 12 + = 2，
π π π
所以 2 × 12 + = 2 π + 2， ∈ ，又| | < 2，
π
所以 = 3
所以 ( ) = 2sin(2 + π3 )．
(2)由条件可得 ( ) = 2sin(2 + π3 )， > 0，
设 = 2 + π π π π 2 π π3，则当 2 < < 3时， π + 3 < < 3 + 3，
因为 ( ) = ( )( > 0) π , π π π 2 π π在 2 3 上是严格增函数，又 π + 3 < 3 < 3 + 3
π + π , 2 π + π π π由条件， 3 3 3 2 , 2 ，
2 π + π3 3 ≤
π ≤ 1
所以 2，解得 4 ,
π + π3 ≥
π
2 ≤
5
6
所以 0 < ≤ 14．
1
所以 的最大值是4．
(3) π因为函数 = ( )的图象向右移动6个单位，可得函数 = 2sin(2 )的图象，
将 = 2sin(2 ) 2图象的上各点的横坐标缩短到原来的 (0 < < 1)倍，可得函数 = 2sin 的图象，
( ) = 2sin 2所以 ，
令 ( ) = 2 2 2 π，可得 sin = 1，所以 = 2 π + 2， ∈ ，
π
所以 = π + 4 ， ∈ ，
因为 = ( )在区间[ 1,1]上至少有 30 个最大值，
14 × π + π π π又 4 < 15 × π + 4 < 15 × π + 4 ，
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所以 15 × π + π 594 ≥ 1，所以 4 π ≤ 1，
4
所以 ≤ 59π，又 0 < < 1，
所以 0 < ≤ 459π．
21.【详解】(1)由题意知长方体 1 1 1 1中，底面 为边长为 2 的正方形，
点 在棱 1上，故 到平面 1 的距离为 2，
则 1 1 1 = 3 × 2 × 2 × 6 × 2 =
2 6
3 ；
(2)连接 ，长方体 1 1 1 1中， ⊥平面 1 1 ，
故∠ 即为直线 与平面 1 1 所成角；
1 6由于 1 = 6， 1 = 3 ，故 = 3 1 = 3 ，
2
在 Rt 中， = 2, = 22 + 63 =
42
3 ，
故 tan∠ = 2 42 = 42 = 7 ．
3
(3) π过线段 作一个与底面 成 0 ≤ < 2 角的截面，
当 = 0 时，截面即为底面四边形 ，面积为 4；
设 , 交于 ，因为 1 = 6，故在 Rt 1 中，tan∠ =
1 6
1 = 2 = 3，
π
故∠ 1 = 3；
π
当 0 < ≤ 3时，不妨设截面与 1 交于点 ，连接 , , ，
则 = , ∴ ⊥ ，而 ⊥ ，故∠ 为截面与底面 所成二面角的平面角，
∠ = = 即 ，故 cos =
2 1
cos ，则截面面积为 = 2 =
1
2 × 2 2 ×
2 2
cos = cos ；
π π
当3 < < 2时，则截面为如图所示四边形 ，为等腰梯形，
设 中点为 ，连接 ，则 ⊥ ，则∠ = ，
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为梯形 的高， = 6，sin
6
由题意可知 1 为等腰直角三角形，故 = 2 1 = 2 2 tan ，
1
故截面面积为 = 2 ( + ) =
1 2 6 6 3 3
2 4 2 tan sin = 2 2 tan sin ．
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