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2024-2025 学年云南省普通高中高二（下）学业水平合格性数学试卷
一、单选题：本题共 22 小题，每小题 3 分，共 66 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { }， = { , }，则 ∪ =( )
A. ， B. C. { , } D. { }
2.记 为虚数单位，复数 = 4 + 3 ，则| | =( )
A. 5 B. 4.5 C. 2.5 D. 2
3.函数 ( ) = + 2的定义域为( )
A. (0, + ∞) B. [0, + ∞) C. ( 2, + ∞) D. [ 2, + ∞)
4.若 = 18 ，则 =( )
A. 118 B. 18 C.
1
18 D. 18
5. =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 0
6.记 为虚数单位，则复数 = 30 + 16 在复平面内的对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.log76 × log67 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8 3. ( 3)3 =( )
A. B. + 3 C. 3( 3) D. 3
2 1, ≤ 0
9.设函数 ( ) = 1 1, > 0 ，则 ( 10 ) =( )
A. 10 B. 7 C. 5 D. 3
10.设函数 ( ) = ，则函数 ( )的零点所在的区间为( )
A. (0,2) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
11 2.在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 = 1， = 3， = 3，则 =( )
A. 6 B. 2 2 C. 2 3 D. 14
12.某市有大型超市 200 家，中型超市 400 家，小型超市 1400 家.为掌握全市超市的营业情况，现按大型
超市、中型超市、小型超市进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本，则应抽取小
型超市( )
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A. 90 家 B. 80 家 C. 70 家 D. 60 家
13 .函数 ( ) = sin(2 5 )的最小正周期为( )
A. 4 B. 2 C. D. 2
14 .要得到函数 = 3 ( + 4 )的图象，只需将函数 = 3 的图象( )
A. 向左平移4个单位 B.向右平移4个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位
15.已知平面向量 = (6,2)， = ( , 5).若 / / ，则 =( )
A. 20 B. 15 C. 5 D. 10
16.如果 < 0，且 > 0，则 是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角
17.下列函数中，既是奇函数，又是减函数的为( )
A. = 6 B. = 3 C. = log3 D. = 2 2 + 1
18 cos 2 . 9 cos

9 sin
2
9 sin

9 =( )
A. 1 B. 12 2 C.
3
2 D.
3
2
19.已知函数 ( ) = 2 .若 0 ≤ ≤ 3，则 ( )的取值范围为( )
A. ( ∞,6] B. ( ∞,8] C. [1,6] D. [1,8]
20.某同学在某星期一至星期五在学校练习投篮的时间(单位：分钟)分别为 30，40，32， ， .若这 5 天平
均每天练习 31 分钟，则 + =( )
A. 49 B. 50 C. 53 D. 55
21 △ . = 5, = 6, = 4.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 若 5，则△ 的面积为( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
22.要建造一个容积为 9 立方米，深为 1 米的长方体无盖水池.若水池的底每平方米的造价为 100 元，水池
的壁每平方米的造价为 90 元，则该水池的总造价(底的造价与壁的造价之和)的最小值为( )
A. 2100 元 B. 1980 元 C. 1870 元 D. 1760 元
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
23.某班数学兴趣小组用空间几何体的图案美化教室.图案中有一个球体，它的半径为 3 ，则这个球体的体
积为______ 3．
24.若向量 = (1, 2), = (3, 1)，则 =______．
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25.若 2 < 7 ，则 的取值范围为______．
26.高三年级某班组织学生到甲、乙两个社区宣讲垃圾分类知识.该班某同学根据班委会规定，通过摸球方式
选择到哪个社区宣讲垃圾分类知识.现有一个不透明的袋子中有 16 个除颜色外大小质地完全相同的球，其中
7 个白球，9 个黑球.该同学从这个袋子中随机摸出 1 个球.若摸出的是白球，则到甲社区宣讲；若摸出的是
黑球，则到乙社区宣讲.该同学到乙社区宣讲垃圾分类知识的概率为______．
三、解答题：本题共 3 小题，共 18 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
27.(本小题 5 分)
明天甲地不降雨的概率为 0.5，乙地不降雨的概率为 0.8.假设明天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响．
(1)求明天甲、乙两地都不降雨的概率；
(2)求明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率．
28.(本小题 6 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ．
(1)若 = 3，△ 的面积等于 3，求三棱锥 的体积；
(2)证明： ⊥平面 ．
29.(本小题 7 分)
已知 ( ) = 2 + 3 ，实数 为常数， 1， 2都为实数，且 ( 1) = 1， ( 2) = 2， 1 < 2．
(1)若 (1) = 1，求 的值；
(2)若 ≠ ，且 ∈ [ 1, 2]， ∈ [ 1, 2]，比较 + + 与 的大小．
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参考答案
1.
2.
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4.
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10.
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14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.36
24.5
25.(0,7)
26. 916
27.0.4；
0.6
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28.3.
证明：作 ⊥ 交 于点 ，如下图所示：
∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
又 ⊥ ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
又∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
易知 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面
29.3；
+ + <
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