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2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第3章 圆的基本性质 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D B B A B B D
1．A
本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键．
解：∵的半径为4，点A在内，
∴，
∴的长可能是3，
故选：A．
2．B
本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
3．C
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长，也考查了勾股定理．
解：∵圆心O到弦的距离，
，
，
在中，，，
∴，
．
故选：C．
4．D
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可．
解：连接，
∵四边形内接于，且，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：D．
5．B
本题考查了旋转的性质，三角形与圆的综合，掌握角所对的边为圆的直径，几何图形面积的计算方法是关键．连接，过点作于点，作点作于点，得到是直径，，四边形的面积为，结合计算得到，是直径，是定值，的面积与的乘积有关，或与的长有关，当点的位置变换，即线段的长改变，则的长改变，随之改变，由此即可求解．
解：如图所示，连接，过点作于点，作点作于点，
∵将绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，
∴，，
∴是直径，，
∴四边形的面积为，
∵，
∴点重合，
∴，
∴，
∵是直径，是定值，
∴的值是定值，
∵是直径，且，
∴，
∴，
∴的面积与的乘积有关，或与的长有关，
∴当点的位置变换，即线段的长改变，则的长改变，随之改变，
∴四边形的面积改变，
∴四边形的面积只与的长有关，
故选：B ．
6．B
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆周角定理可得，则可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得．
解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
由圆周角定理得：，
故选：B．
7．A
本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可．
解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设半径为R，
在中，，
由勾股定理得，，即，
解得．
故选：A．
8．B
本题考查了圆的基本概念，垂径定理的推论，根据直径，对称轴，弦的关系，垂径定理的应用逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意；
圆的对称轴一定经过圆心，原说法正确，符合题意；
直径是圆中最长的弦，原说法正确，符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
∴正确的是，
故选：．
9．B
本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键．
解：连接，设与相交于点，
∵正四边形和正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
10．D
由于在运动过程中，原点始终在上，则弧的长保持不变，弧所对应的圆周角保持不变，等于，故点在与轴夹角为的射线上运动，顶点的运动轨迹2应是一条线段，且点移动到图中位置最远，然后又慢慢移动到结束，点经过的路程应是线段 .
如图3，连接，
是直角，为中点，
半径，
原点始终在上，
，
，
连接，则，
，
点在与轴夹角为的射线上运动，
如图4，，
如图5，，
总路径为：，
故选：.
本题主要考查了函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活的运用函数图像的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解.
11．
本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到是解答的关键；连接，先根据垂径定理的推论得到，再利用勾股定理即可解答；
解：如图，连接，
∵是圆的直径，直径,
∴,
∵，
∴，
∵,
∴,
∴，
∴，
故答案为：．
12．
本题考查了圆的认识，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
由于是的直径，则，而，可得，根据等腰三角形的性质得到，又由于为直角三角形，而，所以为等腰直角三角形，于是可得，利用三角形外角性质有，则．
解：∵是的直径，
∴，
而，
∴，
∴，
∵为直角三角形，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．4
本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接、，进而求解．
解析：如图，连接，以为边作，连接，
∵的面积为，
∴，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
当A，N，E三点共线时，最小，即为的最小值，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值为
故答案为：4．
14．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理；根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到答案．
解：四边形内接于，
，
是直径，
，则
，
故答案为：．
15．
本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
解：连接、，则，
，
，
，即，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
16．/
本题考查圆的性质，垂径定理等，过点作，垂足为F，交于点E，连接，根据垂径定理得，从而得到，在和中，利用勾股定理即可求解．
如图，过点作，垂足为F，交于点E，连接，
则，
∵，
，
，
在中，，
设半径为R，在中，，
由勾股定理得，即，解得，
故答案为：．
17．的半径长为10
本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先结合半径弦，，得，的半径为r，再得，根据勾股定理列式计算，即可作答．
解： 连接，
∵半径弦，
∴，
∵，
∴，
设的半径为r，
∵，
∴，
在中，，
即
∴，
答：的半径长为10．
18．
本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质；根据已知得出，根据得出，进而根据三角形外角的性质，得出，即可求解．
解：如图所示，连接，
∵
∴
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
19．(1)见解析
(2)
(3)见解析
（1）根据得到，即可得到结论；
（2）连接，作于点，求出，，，根据即可求出答案；
（3）过点作，交于点．证明，得到．进一步证明三点共线，即可得到结论．
（1）证明：∵为的内接三角形，，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：连接，作于点，
∴
∵为等边三角形
∴
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴图中阴影部分的面积为；
（3）证明：如图，过点作，交于点．
是等边三角形，
．
∵，
，
是等边三角形，
．
是的中点，
，
．
线段绕点D顺时针旋转得到线段，
，
即．
在和中，，
，
．
，
，
三点共线．
∴．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形面积、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、弧弦之间的关系等知识，熟练掌握圆的相关性质定理是关键．
20．(1)
(2)
本题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形的面积以及勾股定理，注意得到，应用垂径定理是关键．
（1）由，，可求得的度数；由是半圆的直径， 根据“直径所对的圆周角是直角”，可求得，又由，证得，然后由“垂径定理”求得，最后根据圆周角定理求得的度数；
（2）由“垂径定理”可求得的长，设，则， 在中，根据勾股定理列方程求解即可得到的长，再利用扇形面积公式计算即可．
（1）解：，，
，
，
是圆的直径，
，
，
，即，
，
；
（2）解：，，
，
设，则，
在中，，
即， 解得，
即，
扇形的面积为： ．
21．(1)见解析
(2)
本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键．
（1）利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答；
（2）利用圆内接四边形的性质可得，即可求得，即可解答．
（1）解：平分，
，
在的内接四边形中，，
，
，
；
（2）解：，四边形为圆内接四边形，
，
，
，
22．(1)证明见解析
(2)
（）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可求证；
（）连接，由垂径定理的推论可得，即得，又由（）得，再根据三角形的外角性质即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理的推论等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．(1)，理由见解析
(2)10
此题考查了等弧所对的圆心角相等，垂径定理，勾股定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图所示，连接，，得到，，然后证明出即可得到；
（2）首先根据垂径定理得到，设的半径为，则，在中利用勾股定理求解即可．
（1）解：，理由如下：
如图所示，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的直径，
∴，
设的半径为，则，
∴在中，，
∴，
∴，
∴的半径为10．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)或
（1）连接、，由题意易得，则可证，然后可得，进而可得是等腰直角三角形，进而在中，勾股定理，即可求解．
（2）在上取点G，使，连接，同理（1）可得：，则有是等腰直角三角形三角形，然后问题可求解；
（3）由题意易得点P在以为直径的圆上，则可分当点P在如图3①所示位置时，当点P在如图3②所示位置时，进而问题可求解
（1）解：连接、，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴是的直径，
∴
在中，
∴
∴的半径为
（2），理由如下：
在上取点G，使，连接，
同理（1）可得：，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点A到的距离是或，理由如下：
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴点在以为直径的圆上，
∴点是这两圆的交点，
①当点P在如图3①所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴A、P、D、B在以为直径的圆上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，，
∴由（2）中的结论可得：，
∴，
∴；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：点A到的距离为或．
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第3章 圆的基本性质 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．⊙O半径为4，点A在内，则的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，内接于，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接．则四边形的面积（ ）
A．只与的长有关 B．只与的长有关
C．只与的长有关 D．只与的长有关
6．如图，是的直径，C、D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，．若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．5
8．有下列说法：过圆心的线段是直径；圆的对称轴一定经过圆心；直径是圆中最长的弦；平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝6，AC＝2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（　　）
A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ．
12．如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，若为直角三角形，则的度数为 ．
13．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ．
14．如图，已知四边形内接于，是直径，，，则弦 ．
15．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ．
16．如图，四边形内接于，．若，，则的半径是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图所示，在中，半径弦，垂足为D，．求半径的长．
18．如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数．
19．如图，为的内接三角形，，D为的中点，点F为上一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，E为点F的对应点，连接．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积；
(3)求证：．（温馨提示：证明A，C，E三点在一条线上）
20．如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，与交于点，若．
(1)求的度数；
(2)若，，求扇形的面积．
21．如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．
(1)求证：；
(2)若点F在上，且，求的度数．
22．如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求的半径．
24．已知，正方形和它的外接圆．
(1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径；
(2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明；
(3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离．(共6张PPT)
浙教版 九年级上册
第3章 圆的基本性质 单元测试·基础卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 判断点与圆的位置关系
2 0.94 三角形内角和定理的应用；等边对等角；圆的基本概念辨析
3 0.85 利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
4 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度
5 0.75 90度的圆周角所对的弦是直径；根据旋转的性质求解；半圆（直径）所对的圆周角是直角
6 0.65 同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角
7 0.65 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求解；用勾股定理解三角形
8 0.64 圆的基本概念辨析；垂径定理的推论
9 0.4 圆周角定理；正多边形和圆的综合；对顶角相等；三角形内角和定理的应用
10 0.15 圆周角定理；求弧长；相似三角形的综合问题
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
12 0.75 等腰三角形的性质和判定；圆的基本概念辨析；三角形的外角的定义及性质
13 0.65 根据正方形的性质求线段长；正多边形和圆的综合；根据成轴对称图形的特征进行求解
14 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度；含30度角的直角三角形
15 0.64 求特殊三角形外接圆的半径；用勾股定理解三角形；圆周角定理
16 0.55 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求解
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
18 0.85 等边对等角；圆的基本概念辨析；三角形的外角的定义及性质
19 0.75 利用垂径定理求值；圆周角定理；求其他不规则图形的面积；根据旋转的性质求解
20 0.75 利用垂径定理求值；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；求扇形面积
21 0.65 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；等边对等角
22 0.65 圆周角定理；同弧或等弧所对的圆周角相等；等边对等角；垂径定理的推论
23 0.55 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值；等边对等角；利用弧、弦、圆心角的关系求证
24 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；正多边形和圆的综合；用勾股定理解三角形

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