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2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第3章 圆的基本性质 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C C D B B C B
1．C
本题考查了圆的相关概念，掌握直径、半径、半圆和弧、弓形的定义是解题关键．由直径是线段不是直线，可判断A选项；根据经过圆心的线段两个端点不一定在圆和圆心上，可判断B选项；根据半圆是直径所对的弧，弓形是由弦及其所对的弧组成，可判断C、D选项．
解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误；
B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误；
C、半圆是弧，选项正确；
D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误；
故选：C．
2．D
本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
由圆心O到的距离为，即，则，再利用勾股定理求出的长，进而求得弦的长．
解：由题意可得：∵，，
∴，
在中，，
根据勾股定理得：，
∴．
故选：D．
3．C
本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可．
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：C．
4．C
本题考查了正多边形与圆，成中心对称的定义，利用正多边形与圆的关系，成中心对称的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵正六边形内接于，交于点，
∴点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称，
∴与关于点成中心对称的是，
故选：．
5．C
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及垂径定理，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等”可对①②进行分析判断；由只能说明弧所对的圆心角是弧所对的圆心角的2倍，不能判断，据此可对③进行分析；接下来根据圆心角与弧的关系对④进行分析．
解：根据圆心角、弧、弦的关系可知：
①，则，①正确，符合题意；
②，则，②正确，符合题意；
③如上图所示，若，则点为的中点，连接，交于点，
，，
，即，
，
故③错误，不符合题意；
④如上图所示，若，
，
，
，
故④正确，符合题意．
故选：C．
6．D
本题考查了圆周角定理等知识，根据弦、弧的关系及圆周角定理判断求解即可．
解：∵于E，于F，
∴，，
故A、B正确，不符合题意；
∴，
∴，
∴，
故C正确，不符合题意；
只有时，，
故D不正确，符合题意；
故选：D．
7．B
本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为．
解：连接、，如图，
，，
，，
，，
，
∴的度数为．
故选：B．
8．B
本题结合图形的性质，考查轴对称－最短路线问题．本题是要在上找一点P，使的值最小，设是A关于的对称点，连接，与的交点即为点，此时是最小值，可证是等腰直角三角形，从而得出结果．
解：作点A关于直径的对称点，连接，交于点P，连接，，，，，
∵点A与关于对称，
∴，
∴，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A是半圆上的一个三等分点，
由题意可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键；过点D作的垂线，交延长线于E，利用题中条件和圆的性质，证明，推出，，再利用勾股定理求的长．
如图，连接，过点D作的垂线，交延长线于E，则，
为的直径，
，
又，，
，
平分，
，
又在中，，，
，
，
又在中，，，
，
又，，
，
，
，，
，
由勾股定理得，，
即，解得，
故选：C．
10．B
延长到点，使得，过点作于点，先求出，根据等边三角形的判定和性质可得，，推得，根据圆内接四边形的性质可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定的和性质可得，推得；根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据勾股定理可得出，结合题意可得；将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作延长线交于点，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据勾股定理的逆定理可得，求得，根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，，即可求解．
解：如图：延长到点，使得，过点作于点，
解：∵，
∴，
则，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵、、、四点共圆，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
故，
则，
在中，，，
即，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作延长线交于点，如图：
则，，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
即是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
则，
∵，
∴．
故选：B．
本题考查了等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定的和性质，直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，圆心角、弦、弧的关系，圆周角定理等，解题的关键是借助旋转构建全等三角形得出，推出．
11．/度
本题考查了圆的性质，等边三角形的性质与判定，得出是等边三角形是解题的关键．
根据半径为，弦长，可以判断是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
12．
本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得所在的直线是的垂直平分线，则三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答．
解： 过点作，连接
∵，，
∴所在的直线是的垂直平分线，
∴三点共线，
∴，
在中，，
设的半径是，
则，
在中，，
∴，
解得，
故答案为：．
13．
本题考查正多边形和圆，三角形的面积，连接，，连接交于点，得，，求出，故可得．
解：如图，连接，，连接交于点，
正六边形内接于，
经过点，且，，，
，
，
，
在正六边形中，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出．
解：如图，连接，
∵四边形内接于，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
故答案为：．
15．
本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，中位线的判定与性质，根据题意得出点的移动轨迹，再根据交于点，此时的长最小，进行计算即可．
解：连接，，
∵是的直径，
∴O为的中点，，
∵D为的中点，
∴是的中位线
则，
∴，
如图，当点P在上移动时，的中点的轨迹是以为直径的，
∵ 的直径为4，
∴
因此交于点，此时的长最小，
由题意得，，，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．3
本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．
∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴，，
∵点B是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∴周长的最小值，
故答案为：3．
17．(1)4
(2)5
本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长．
（1）由垂径定理得到；
（2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可．
（1）解：∵直径，
∴；
（2）解：∵，
∴
设，
∵,
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
18．见解析
本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，，得到，，可以证明，根据全等三角形的对应边相等，可得到．
证明：连接，，
，是的半径，
，
，
又，
，
．
19．(1)135°
(2)
（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解；
（2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系．
本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键．
（1）∵是的直径，
又
是等腰直角三角形，
∵四边形是的内接四边形，
（2）如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
20．(1)
(2)8或9
本题考查了求弧长，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，熟练掌握弧长公式以及勾股定理是解题的关键．
（1）设与交于点，连接，当时，，证明是等边三角形，即可求解；
（2）连接，，证明，在中，利用勾股定理即可求解．
（1）解：设与交于点，连接，

当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴半圆O在矩形内的弧的度数为；
（2）连接，，

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，，
即的值为8或9．
21．(1)证明见解析
(2)
（）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可求证；
（）连接，由垂径定理的推论可得，即得，又由（）得，再根据三角形的外角性质即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理的推论等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．证明见解析．
本题考查垂径定理的推论、弦与弦心距的关系及等腰三角形的性质，熟练掌握平分弦（非直径）的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧是解题关键，根据垂径定理得出，，根据弦与弦心距的关系得出，根据等腰三角形的性质即可得答案．
证明：连接，，
∵、分别为，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
（1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到；
（2）由得到，然后结合求解即可．
（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，即．
24．(1)①；②；
(2)①；②
（1）①如图，由旋转可得：，，结合等腰三角形的性质可得答案；②由，，，，结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）①如图，以为圆心，为半径作，过作交圆于，连接，延长交圆于，连接，证明，可得，证明为等边三角形，证明，在上取点，使，则，可得，证明，设，则，，而，再利用勾股定理可得答案；②如图，取的中点，连接，过作交圆于，过作交于，证明四边形为菱形，可得，可得在以为圆心，为半径的圆弧上运动，再利用弧长公式可得答案．
（1）解：①如图，由旋转可得：，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，，
∴；
（2）①如图，以为圆心，为半径作，过作交圆于，连接，延长交圆于，连接，
∴，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在上取点，使，则，
∴，
∵为直径，
∴，
设，则，，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
②如图，取的中点，连接，过作交圆于，过作交于，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
∵起始位置时，，，，
∴，
此时四边形为正方形，
∴，
∴点的运动路径长为．
本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，圆的基本性质，圆的确定，圆周角定理的应用，弧长的计算，平行四边形，菱形，正方形的判定与性质，难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．(共6张PPT)
浙教版 九年级上册
第3章 圆的基本性质 单元测试·培优卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 圆的基本概念辨析
2 0.85 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
3 0.75 根据平行线的性质求角的度数；求弧长；等边对等角
4 0.75 正多边形和圆的综合；中心对称图形的识别
5 0.65 利用垂径定理求解其他问题；利用弧、弦、圆心角的关系求证
6 0.65 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求证
7 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解； 求圆弧的度数
8 0.64 利用弧、弦、圆心角的关系求解；根据成轴对称图形的特征进行求解；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
9 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；圆周角定理
10 0.15 圆与四边形的综合(圆的综合问题)；线段问题(旋转综合题)；等边三角形的判定和性质；勾股定理逆定理的实际应用
二、知识点分布
二、填空题 11 0.94 等边三角形的判定和性质；圆的基本概念辨析
12 0.85 线段垂直平分线的判定；利用垂径定理求值；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
13 0.65 正多边形和圆的综合
14 0.75 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度；同弧或等弧所对的圆周角相等
15 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；点与圆上一点的最值问题；用勾股定理解三角形；半圆（直径）所对的圆周角是直角
16 0.55 利用弧、弦、圆心角的关系求解；用勾股定理解三角形；根据成轴对称图形的特征进行求解
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
18 0.85 圆的基本概念辨析；全等三角形的性质；等边对等角
19 0.75 同弧或等弧所对的圆周角相等；已知圆内接四边形求角度；等边对等角；半圆（直径）所对的圆周角是直角
20 0.75 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；圆周角定理
21 0.65 圆周角定理；同弧或等弧所对的圆周角相等；等边对等角；垂径定理的推论
22 0.65 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求证；等边对等角
23 0.64 等边对等角；利用弧、弦、圆心角的关系求证；三角形内角和定理的应用
24 0.15 根据正方形的性质与判定证明；圆周角定理；求弧长；根据旋转的性质求解2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第3章 圆的基本性质 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列语句中正确的是（　　）
A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径
C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆
2．如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正六边形内接于，交于点，连接，则下列三角形中，与关于点成中心对称的是（　　）
A． B． C． D．
5．在中，，为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上的一个动点，的半径为1，则的最小值（　　）
A． B． C． D．
9．如图，中，直径，，平分交圆于点，则（ ）
A．5 B． C． D．4
10．如图，点是圆劣弧上的一个动点（不与点，重合），且满足，是内一点，，，，点在劣弧上运动的过程中，，则的值满足（ ）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在半径为的⊙O中，弦长．的度数 ．
12．如图，内接于，若，，则的半径是 ．
13．如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
14．如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则 ．
15．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，D为的中点，连接．若的直径为4，则长的最小值是 ．
16．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，是的直径，弦于点，连接，若，．
(1)求的长度；
(2)求的长度．
18．如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：．
19．如图，在中，弦，点在上．
(1)如图①，若是的直径，求的度数；
(2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数．
20．如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒．
(1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的度数；
(2)在点B运动的过程中，当都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接，若为直角，求此时t的值．
21．如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．如图，，为两弦，且，、分别为，的中点．求证：．
23．如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证：
(1)
(2)．
24．将线段绕点顺时针旋转得到线段，再以线段为边画等边，连接．
(1)①如图1，若，则的度数为___________．
②在旋转过程中，改变，求出的度数．
(2)如图2．在中，，，．当时，
①求的长．
②把图2位置中的点看成起始点，点随从图2位置顺时针旋转而运动，到与重合时停止旋转，同时点也停止运动，直接写出点的运动路径长．

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