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2025-2026学年黑龙江省双鸭山市部分学校高二（上）段考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图：在平行六面体中，为，的交点若，，，则向量( )
A.
B.
C.
D.
2.已知，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
4.设正四面体的棱长为，是的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知直线：与：，则下列说法不正确的是( )
A. 当时， B. 当时，与重合
C. 当时， D. 当时，则与交于点
6.已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
7.在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.过定点的直线与过定点的直线交于点与、不重合，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.设直线的方程为，则下列说法正确的有( )
A. 直线的斜率为 B. 直线在轴上的截距为
C. 直线在轴上的截距为 D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为
11.正方体的棱长为，，且下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 若，则平面
C. 若，则四面体的体积为 D. 点到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为______．
13.直线：经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是______．
14.在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，设，．
求用表示；
求直线和夹角的正弦值．
16.本小题分
已知直线：，：．
求经过点且与直线垂直的直线方程；
求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知直线：．
若直线垂直于直线：，求实数的值；
求证：直线经过定点；
当时，求点关于直线的对称点的坐标．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
求证：．
求线段中点到平面的距离．
线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.由、分别是、的中点，可得，，
所以；
因为，，
，，
所以，
根据和都是等边三角形，可得，
设直线和的夹角为，则，可得．
16.由直线，可得斜率为，
故可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
联立，解得，即直线与的交点为，
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
综上所述：所求直线方程为或．
17.解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，，，，，
设面的法向量为．
则取，则，
设与平面所成角为，则．
，，
点到平面的距离．
18.解：因为，
直线：，直线：，
所以，
解得，故实数的值为．
证明：因为直线：，
即，
所以
解得，
所以直线恒过定点．
解：因为，
所以直线：．
设点关于直线的对称点为
则线段的中点坐标为，
所以
解得
所以点关于直线的对称点的坐标为．
19.证明：由于平面平面，平面平面，
且平面，
平面，
平面，．
取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，
因为直线，，两两垂直，
所以以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，
所以到平面的距离．
令，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
易知平面的一个法向量为，
于是，，
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时．
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