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2025-2026学年北师大版八年级数学上册PPT★★
2.2 平方根和立方根

（第2课时）
第二章 实数
情景引入
4????????2
?
一个正方形的面积是4平方厘米，它的边长是多少？能否是负数？
一张正方形桌子的桌面面积是25平方分米，它的边长是多少？
25????????2
?
在实际问题中，我们需要的是“正数的正平方根”——因为长度、面积等物理量不能为负
能否一中新的概念来表示这样数呢？
接下来我们将学习这样的数！
温故知新
(1)算术平方根的定义?
通过以上问题，猜测一下：什么是平方根？它与算术平方根有什么区别？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即????2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作????
?
(2)算术平方根的结果是正数?负数还是非负数？
(3)若a>0， ?a有意义吗？为什么？
?
非负数
无意义，因为根号下的数一定是非负数
※问题1 什么是平方根？
新知探究
探究1 平方根的概念
在求平方根的计算中，一般都会得到两个值
S1
(1) 3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？
(2)平方等于425的数有几个？平方等于0.64的数呢？
?
-3的平方也是9
平方等于425的数有两个，是±25；
?
平方等于0.64的数也有两个，是±0.8.
一般地，如果一个数x的平方等于a，即????????=a，那么这个数x就叫作a的平方根
?
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 4的平方根是±2 B. 9 表示9的算术平方根
C. -16 = -4 D. 0.25的平方根是0.5
?
典例分析
探究1 平方根的概念
2．若 x? = 36，则 x = ；若?x = 6，则 x = .
?
±6
?
36
D
在第一题中，除了平方根还涉及到上节课学的算术平方根，这二者有什么区别和联系呢？
新知探究
探究2 平方根与算术平方根的区别
※问题2 平方根和算术平方根有哪些相同的点与不同点?
?
相同点：
（1）平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中非负的结果；
（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.
不同点：
（1）一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个；
（2）正数的平方根一正一负，正数的算术平方根一定是正数
你还能说出平方根与算术平方根的其他区别或联系吗？
新知探究
一个正数a有两个平方根，一个是????，另一个是-????，这两个平方根合起来可以记作±????；读作：正、负根号a.
?
※问题3 一个正数有几个平方根？0有几个平方根?负数呢?
探究2 平方根与算术平方根的区别
一个正数有两个平方根；
0只有一个平方根，它就是0本身；
负数没有平方根
典例分析
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.
1.计算以下数字的平方根
探究2 平方根与算术平方根的区别
（1）169的平方根是__________；
210?6的平方根是__________；
31649的平方根是__________；
494的平方根是__________；
518的平方根是_______________.
?
±13
?
±10?3
?
±47
?
±32
?
±18
?
都是被开方数
平方根的定义：若????????=????，那么这个数????就叫作????的平方根（0 的算术平方根是 0）
?
新知探究
归纳总结
开平方运算的定义：开平方就是求一个数的平方根的运算
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根
平方根的性质：（1）任何正数都有两个平方根
例1 求下列各数的平方根：
(1)64； (2) 49121； (3)0.000 4；
(4)(-25)2； (5)11.
?
典例分析
解：(1)因为(±8)2=64，
所以64的平方根是±8，即±64=±8；
?
(2)因为(±711)2=49121，所以49121的平方根
是±711，即±49121=±711；
?
(3)因为(±0.02)2=0.000 4，
所以0.000 4的平方根是±0.02，即
±0.000?4=±0.02；
?
(4)因为(±25)2=(-25)2，
所以(-25)2的平方根是±25，即
±(?25)2=±25；
?
(5)因为(±11)2=11，
所以11的平方根是±11.
?
虽然算术平方根的结果一定是正数，但是计算要看看前面有没有符号，最终结果的符号也由前置符号决定
典例分析
例2 求下列各式的值：
(1) 225； (2) -1694； (3) （?????）????.
?
解：(1) 225?= 152?=15；
?
(2) -1694?= -(132)2?=- 132；
?
(3) (?8)2?=8.
?
拓展提升
一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的9倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍呢？面积变为原来的n倍呢？
解：设原正方形的边长为a，则原正方形的面积为a2
?
当面积变为原来的4倍时
4????2
?
边长为2a
当面积变为原来的9倍时
9????2
?
边长为3a
当面积变为原来的100倍时
100????2
?
边长为10a
因此面积变为原来的n倍时
?
新面积为na2
?
边长变为原来的n倍.
?
正方形的面积是边长的平方（S = ????2)因此，面积的变化率是边长变化率的平方
?
应用新知
1、16的平方根是（ ）
A. 4 B. -4 C. ±4 D. 8
2、若 (m+2)? = 81，则 m 的值可能是（ ）
A. 7或11 B. 7或-11 C. -7或11 D. -7或-11
3、若一个正方形的面积是 144 cm?，其边长是（ ）
A. 12 cm B. ±12 cm C. 14.4 cm D. 72 cm
4、满足条件?(x?1) + (4?x) 有意义的整数 x 有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
?
C
B
A
D
应用新知
5、25 =_____，25的平方根是_____.
6、若 x? = 36，则 x =_____；若?x = 6，则 x = _____.
7、若 2a-1 的平方根是 ±3，则 a =_____.
8、若 a 的算术平方根是 b，且 b? = 16，则 a =_____.
?
5
25
±6
?
36
5
16
类型一：平方根基础概念辨析
题型总结
类型二：平方根与算术平方根对比
1、下列说法错误的是（ ）
A. 4的平方根是±2 B. 9 表示9的算术平方根
C. -16 = -4 D. 0.25的平方根是0.5
?
D
2、填空：(1) 81的平方根是 ；
(2) 81 = ； (3) -81 =
?
±9
9
-9
类型三：平方根性质应用
3、若一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15，则这个数是
49
题型总结
类型四：解简单平方根方程
4、求x的值：(1) x? = 121 (2) (x-1)? = 64
解：(1) x=±11；
(2) x=9或x=-7
类型五：几何背景下的应用
5、将面积为48 cm?的正方形纸片裁剪成边长为整厘米的小正方形，剩余部分面积最小是
12cm?
类型六：代数式求平方根
6、若m=3x-1，且m的平方根是±5，则x=
????????????
?
真题感知
1.（2024·四川）下列说法错误的是（ ）
A. 1的平方根是1 B. 0的算术平方根是0
C. 4=2 D. ?9=?3
2. （2024·江苏） 下列说法正确的是（ ）
A. 16=±4 B. ?25=?5
C. ?52=?5 D. 9? 的平方根是 3
3.（2024·江苏） 若 x2=10，则 x=?
4.（2024·黑龙江）若 a2=7，则 a=
?
A
B
±10
?
±7
?
5.（2024·浙江） 计算：
.52+16??32
?
解：原式= 5+4?3=6
?
1. 基础必做题：随堂练习 第1、2题；
2. 开放探究题：习题2.2 第11题；
作业布置
课堂小结
本节课学习内容梳理：

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