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2025-2026学年北师大版八年级数学上册PPT★★
2.2 平方根与立方根
（第4课时）
第二章 实数
情景引入
?学校准备在教学楼前修建一个正方形环保主题花坛，用于种植绿植和宣传环保知识。
?已知花坛的规划面积为 30 m?，施工队需要确定花坛的边长，才能购买合适的瓷砖和划分施工区域？
正方形花坛的面积是30 m?，边长是整数吗？该如何将它转化为小数，以便购买材料?
解决问题的核心方法????：无理数转化为近似数
本节课将解决这一难题，接下来让我们一起进入本节课的学习吧！
温故知新
?(1)立方根的概念是什么？
★通过以上问题，猜测一下：怎样估算无理数？无理数如何与其他数进行比较？
?一般地，如果一个数x的立方等于a，即x?=a，那么这个数x就叫作a的立方根．
?(2) 回想一下什么是无理数？结合所学的立方根，你能举例说明吗？
?无理数是无限不循环小数，如32就是一个无理数，因为没有任何一个有理数满足????3=2..
?
?(3)回想一下我们是如何得出“无限不循环小数”这一概念的？
?通过平方运算不断确无限不循环小数的小数部分，最终发现这样的小数不仅小数部分没有规律，更是无法完全计算出来.
※问题1 如何估算出无理数的近似数?
新知探究
探究1 无理数的估算技巧
1.某块地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000 m?。
????（1）公园的宽大约是多少？它有1000 m吗？
????解：
设公园的宽为?????????，则长为2?????????，根据面积公式得：2x?x=400000
?
x2=200000，则x=200000
?
因为10002=1000000，而200000<1000000，
?
所以200000<1000，公园的宽没有1000 m。
?
※问题1 如何估算出无理数的近似数?
新知探究
探究1 无理数的估算技巧
????（2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流.
计算10的倍数的平方：
????解：
4402=193600（与200000差6400）
?
4502=202500（与200000差2500）
?
因为202500更接近200000，所以200000≈450?m
?
????（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m?，你能估计它的半径吗？（结果精确到1 m）.
????解：
圆形面积公式S=πr2，得r=Sπ ??
?
代入S=800?m2，π≈3.14：
?
r≈8003.14≈254.78 ?
?
因为152=225，162=256，所以15<254.78<16
?
验证162×3.14=256×3.14=803.84≈800，所以半径大约是16 m.
?
新知探究
探究1 无理数的估算技巧
※问题1 如何估算出无理数的近似数?
????在例题中，每一小问都涉及都无理数的估算，我们发现估算无理数时，总是通过找到临近的数字在平方，并取更加逼近无理数的那个数，你们总结该过程吗？
?? ①确定 “夹逼” 方向，锁定整数范围：
????先找两个邻近的整数，使它们的平方（立方，对应开平方、开立方）分别小于、大于被开方数；
?? ②细化精度，缩小范围：
????若需要更精确的估算，则在第一步的整数区间内，找一位小数的平方继续 “夹逼”；
?? ③确定近似值（结合需求取整或截断）：
????根据题目要求的精度（如 “精确到 1”“精确到 0.1” ），从夹逼出的范围中取更接近无理数的近似值
?“夹逼法” ：用已知有理数的幂（平方、立方等），逼近未知无理数的范围，通过“大范围→小范围”， 逐步缩小边界，最终根据需求确定近似值。
即使训练
探究1 无理数的估算技巧
????请你用夹逼法估算11，结果精确到小数点后一位.
?
解：①首先，寻找两个整数，使得它们的平方分别小于和大于11：
32=9（9<11）
?
42=16（16>11）
?
因此，11?的整数部分是3，即：3<11<4
?
②接下来，在3.0到4.0之间，寻找一位小数，使得它们的平方分别小于和大于11：
?
试3.3：3.32=10.89（10.89<11）
?
试3.4：3.42=11.56（11.56>11）
?
此时，11?在3.33和3.4之间：3.3<11<3.4
?
③11?3.32=11?10.89=0.11
?
3.42?11=11.56?11=0.56
?
由于0.11<0.56，因此11≈3.3
?
“夹逼法”是极限思想的体现，在前期的计算中，由于计算量较大，使用会较为困难，但在多次尝试中，提升自己的数感，这将会是一个得心应手的工具
?
?
?
新知探究
探究2 无理数的大小比较
※问题2 如何将无理数与其他数进行比较？
????（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流。
????0.43≈0.066：错误.
?
????解：
理由：0.0662=0.004356 ，远小于0.43 ，因此0.43应大于0.066 ；
?
????3900≈96：错误.
?
理由：963=884736，远大于900，因此3900应远小于96；
?
????2536≈60.4：错误.
?
理由：60.42=3648.16，远大于2536，因此2536应小于60.4。
?
????（2）你能估计3900的大小吗（结果精确到1）？
?
????解：
寻找整数a和a+1，使得a3<900?
93=729，103=1000，因此9<3900<10。
?
计算中间值的立方，缩小范围：
9.63=884.736，9.73=912.673.
?
比较差值：
900?884.736=15.264，912.673?900=12.673
?
由于9.73更接近900，故3900≈10
?
探究2 无理数的大小比较
※问题2 如何将无理数与其他数进行比较？
????（3）宽与长之比为5?12的长方形称为“黄金矩形”.你能比较5?12与12的大小吗？你是怎么想的？
?
解：结论：5?12>12
?
理由如下：
代数推理：5>2，因此5?1>1
?
两边除以2：5?12>12
?
??平方法
?将两个数都平方
?将他们化为有理数进行比较
?适用于有理数与无理数或无理数与无理数之间的比较.
新知探究
典例分析
????例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的13，则梯子比较稳定。如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？
?
解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的13。
?
根据勾股定理，有
x? + (6×13)? = 6?，
?
即x?=32，x=32
?
因为5.6?=31.36＜32，所以32＞5.6;
?
因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。
探究3 用计算器进行开方运算
※问题3 如何借助计算器进行开方运算？
新知探究
?????????（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.0001）：①5.89；②3?1285
?
提示????：常用按键：平方根用“√”（或“sqrt”）键，立方根用“xy?（任意根）键或专门的“?√”键。
?
①5.89：按“√”→输入“5.89”→按“=”
?
结果精确到0.0001为2.4269
②3?1285：按“xy”→输入“-1285”→按“xy”→输入“3”→按“=”；
?
或计算3?1285后加负号，结果精确到0.0001为-10.8700
?
熟练的使用计算器，能帮助我们解决实际问题中的大数运算或者运算难度的很高的问题
新知探究
探究3 用计算器进行开方运算
※问题3 如何借助计算器进行开方运算？
?????????（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。
解：????很大的正数（如10000）：
反复开平方→100→10→3.162→1.772→1.331→…→
趋近于1
????小于1的正数（如0.0001）：
反复开平方→0.01→0.1→0.316→0.562→0.750→…→
趋近于1
?结论：
无论初始是很大的正数还是小于1的正数，反复开平方后结果均趋近于1
新知探究
探究3 用计算器进行开方运算
※问题3 如何借助计算器进行开方运算？
?使用计算机开方的操作总结
?①平方根：
①按“√”键；
② 输入被开方数；
③按“=”键
? ②立方根：
① 按“xy?”键；
?
②输入被开方数；
③按“xy?”键；
?
④输入根指数“3”；
⑤按“=”
拓展提升
????物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度，它的计算公式为 v=gR，其中 g=9.8?m/s2，R=6.37×106?m，求第一宇宙速度（结果精确到100 m/s）。
?
解：v=gR
?
gR=9.8?m/s2×6.37×106?m=62.426=6.2426×107?m2/s2
?
要计算6.2426×107，先寻找接近624260000的平方数：
?
79002=62410000，由于结果精确到100m/s.
?
因此第一宇宙速度约为7900 m/s
在计算百万级的大数时，通常可将其先用科学计数法表示，避免单位或数量级错误
无理数估算的一般方法：夹逼法
已知有理数的幂（平方、立方等），逼近未知无理数的范围，通过“大范围→小范围”， 逐步缩小边界，最终根据需求确定近似值。
新知探究
归纳总结
无理数与其他数比较的一般方法：平方法（立方法）
将两个无理数平方（或立方）转化为有理数，比较平方（或立方）后的结果.
应用新知
1.估计下列各数的大小：
（1）13.6（结果精确到0.1）；
（2）3800（结果精确到1）.
?
解：寻找相邻的一位小数，使其平方接近13.6：
3.62=12.96，3.72=13.69.
?
13.6?12.96=0.64，13.69?13.6=0.09
?
13.69更接近13.6
?
结论：13.6≈3.7
?
应用新知
2.比较6与2.5的大小。你是怎么做的？
?
解:寻找相邻的整数，使其立方接近800：
93=729，103=1000
?
计算中间值的立方：9.33=804.357，9.23=778.688
?
比较差值：800?778.688=21.312，804.357?800=4.357，
?
9.33更接近800
?
结论：800≈9
?
3.利用计算器比较33和2的大小.
?
解：用计算器计算：33≈1.442，2≈1.414.
?
比较数值：1.442>1.414.
?
结论：33>2
?
题型总结
类型一：估算无理数的近似值
1.估算?10的值，精确到 0.1.
?
解：确定整数范围：
32=9<10，42=16>10精确到 0.1：
?
计算一位小数的平方：
3.12=9.61<10， 3.22=10.24>10
?
10?9.61=0.39， 10.24?10=0.24
?
3.2更接近 10，因此10的近似值时3.2
?
类型二：无理数与有理数的大小比较
2.比较?7?与 2.7 的大小;
3.比较?π与 3.1416 的大小.
?
2.解： 72=7 2.72=7.29
?
7<7.29→ 7<2.7
?
3. 解：π≈3.1415926535...
?
3.1415926535<3.14160 → π<3.1416
?
题型总结
类型三：两个无理数的大小比较
4.比较?15?与?17的大小;
5.比较?3?与36?的大小.
?
4.解：15<17 → 15<17
?
5.解：统一为 6 次方（2 和 3 的最小公倍数）：
（3）6=33=27
?
（36）6=62=36
?
因为36>27，所以?3?<36?.
?
类型四：利用估算解决实际问题
解：（50）2=50； 7.22=51.84
?
因为51.84>50所以50<7.2
?
因此这个物体能够放入这个盒子。
6、 某物体的长度为50?厘米，已知一个盒子的内部长度为 7.2 厘米，这个物体能否放入盒子？
?
真题感知
1.（2024?天津）估算10的值在（ ）?
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
2.（2024·重庆） 题目：已知m=35，则实数m的范围是（ ）
A. 2?
3.（2024?四川）比较 6与 2.5 的大小.
?
4.（2024?全国模拟）：比较大小：5?1 _____ 2（填>、<或=）
?
C
D
解：62=6，2.52=6.25
?
∵ 6<6.25
?
∴ 6<2.5
?
<
1. 基础必做题：随堂练习第1、2、3题；
2. 开放探究题：习题2.2 第15题；
作业布置
课堂小结
本节课学习内容梳理：

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