资源简介

2025-2026学年北师大版八年级数学上册PPT★★
2.2 平方根和立方根

（第1课时）
第二章 实数
情景引入
4????????2
?
一个正方形的面积是4平方厘米，它的边长是多少？能否是负数？
一张正方形桌子的桌面面积是25平方分米，它的边长是多少？
25????????2
?
在实际问题中，我们需要的是“正数的正平方根”——因为长度、面积等物理量不能为负
能否一中新的概念来表示这样数呢？
接下来我们将学习这样的数！
温故知新
(1)什么是平方运算?
通过以上问题，猜测一下：什么是算术平方根？如何求算术平方根？
一个数乘与它自身的过程
(2)你能写出平方运算的数学表示吗?
(3) 0的平方是多少？
0的平方还是0
对于任意实数a，a的平方表示为a×a，记作????2
?
※问题1 仔细观察下图，回答下列问题：
新知探究
探究1 算术平方根的概念
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ????2=a，那么这个正数 x就叫作 a的算术平方根，记作 ????，读作“根号 a”.
0的算术平方根是0，即 0=0
?
S1
(1)如图，在图中的四个三角形中，若以每个三角形斜边长为正方形边长，那么对应正方形的面积分别为多少？
????2=12+12=2;
?
????2=12+????2=1+2=3;
?
????2=12+????2=1+3=4;
?
????2=12+????2=1+4=5
?
(2)认真观察以上四个式子，可以发现，他们最终都是 的形式，且x,y,z,w都是
????2=a
?
正数
1.以上x,y,z,w分别是多少？如何求出它们？
典例分析
在解决以上问题后，我们发现只有正数才具有算术平方根，且算术平方根一定是非负数
探究1 算术平方根的概念
解：已知????2=2，平方结果为2的正数是2，所以x= 2
?
同理，y=2； z=3； w=5.
?
2.下列各数没有算术平方根的是（　 　）
A. 0.81 B. 0 C. -36 D. 1625
?
C
3.已知x2=21，则x的算是平方根是?
?
21
?
新知探究
探究2 算术平方根的运算性质
※问题2 900=30 即 302=30?，那么????2=????成立吗 ？
?
完成表格，通过表格所呈现的规律，我们一起探索其中的等式是否成立。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}a的值
????????（是否有意义）
????????
结果与a的关系
5


0


?5


{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}a的值
结果与a的关系
5


0


?5


有意义（25）
有意义（0）
?
有意义（25）
52=5
?
02=0
?
(?5)2=5
?
等于a
等于a
等于a
（1）无论a取何数，a2始终成立，且当 a≥0 时， ；当 a<0 时，
?
a2=a
?
a2=?a
?
（2）若不看a的取值范围，则
a2=|a|
?
新知探究
综上可得，当a≥0时 ，????????=????，????????=????；当a<0时 ，????????=?????.这个性质在今后计算中非常重要1
?
（1） （a）2中的a能为负数吗？
?
（2）结合????2=????的探究过程，你认为（a）2与a的关系是怎样的？交流讨论后得出结果.
?
探究2 算术平方根的运算性质
※问题3 结合算术平方根的性质，共同交流探讨（a）2与a的关系
?
a不能为负数，且由算术平方根的定义可知，此处a只能大于或等于0
当a≥0时，（a）2=a
?
典例分析
在解决以上问题后，我们发现只有正数才具有算术平方根，且算术平方根一定是非负数
探究2 算术平方根的运算性质
3.下列说法正确的是（　 　）
A. 9=±3 B. ?16=?4
C. ?42=?4 D. 0.01=0.1
4.下列等式成立的是（　 　）
A. 72=?7 B. 112=?11
C. ?92=9 D. ?52=?5
?
a2=|a|
?
a2=|a|
?
（a）2=a
?
BD
C
算术平方根的定义：若????????=????，那么这个正数????就叫作????的算术平方根（0 的算术平方根是 0）
?
新知探究
归纳总结
算术平方根的性质：
（1）????中的????为非负数
?
（2）结果非负：a≥0
?
（3）运算性质：a2=a；a2=∣a∣
?
拓展提升
先利用a、b在数轴上的位置，再结合算术平方根的性质，得出需要化简的式子的每一部分的结果
已知实数a、b在数轴上的位置如图所示（数轴标注：b<-1<0化简：a2+b+12?1?a2+a?b2
?
解：已知?????
a>0；b+1<0；1?a>0；a?b>0；
?
根据算术平方根的性质：因为a>0，所以a2=a
?
因为b+1<0，所以b+12=?b+1=?b?1
?
因为1?a>0，所以1?a2=1?a
?
因为a?b>0，所以a?b2=a?b
?
拓展提升
方法技巧：
二次根式化简一般有以下步骤：
（1）确定符号（关键前提）
（2）区分两个易混淆公式
（3）去括号与合并同类项
已知实数a、b在数轴上的位置如图所示（数轴标注：b<-1<0化简：a2+b+12?1?a2+a?b2
?
将上述化简结果代入原式得：
a2+b+12?1?a2+a?b2=a+?b?1?1?a+a?b=a?b?1?1+a+a?b=a+a+a+?b?b+?1?1=3a?2b?2
?
应用新知
1.若 a=5，则a的值是（　 　）
A. 25 B. -25
C. 5 D. ±5
2..一个数的算术平方根是 23，这个数是（　 　）
A. 49? B. 29
C. 43 D. 94
?
A
A
25=5，所以????=25
?
49=23，所以????=49
?
类型一：理解定义
题型总结
1.填空：若 x2=64（x>0），则 x=?
2. 判断正误：（1）100=10 （ ）
（2）?25=?5 （ ）
?
8
?
√
×
类型二：直接计算题
3.求下列数的算术平方根：
36，916?，17，0.81，10?4
?
解：36=6； 916=34； 17的算术平方根为：17；
0.81=0.9；??????????10?4=10?2=0.01
?
题型总结
类型三：性质运用题（等式 a2=∣a∣和 a2=a）
?
4. 计算：
（1）?82= （2）152=
?
8
?
15
5.在△ABC中，∠C=90?，BC=3，AC=5，求AB的长
?
解：在△????????????中，∠????=90?，根据勾股定理：
?
AB2=AC2+BC2=52+32=25+9=34
?
所以，AB=34
?
题型总结
类型四：实际运用题
6. 如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子的长度为8m，地面固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离为6.4m，则帐篷支撑杆的高是多少？
?
解：由题意△????????????为直角三角形，则∠????=90?
?
根据勾股定理：
AB2+BC2=AC2
?
代入数值（AC=8?m，BC=6.4?m）：
?
因此，AB=23.04=4.8?m
?
真题感知
1.（2024?广东）若代数式(x?1)意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≥1 B. x>1 C. x≤1 D. x<1．
2.（2024?浙江）若a+(b+2)2=0，则a-b的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3．
3.（2024?湖北）计算(5)2+（?3）2的结果是（ ）
5 + 3 = 8 B. 5 + (-3) = 2
C. -5 + 3 = -2 D. -5 + (-3) = -8
?
A
A
B
真题感知
4.（2024?河南）计算9结果是（ ）
A.- 3 B. 3 C. ±3 D. 9
5.（2024?江苏）估计7值在（ ）
2和3之间 B. 3和4之间
C. 4和5之间 D. 5和6之间
?
B
A
1. 基础必做题：随堂练习 第1、2题；
2. 开放探究题：习题2.2 第12题；
作业布置
课堂小结
本节课学习内容梳理：
感谢聆听!

展开更多......

收起↑