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靖远县第四中学2025--2026学年高二9月月考数学试卷
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.各项均为正数的等比数列{an}中,a6与a12的等比中项为3,则log3a7+log3a11=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.《算法统宗》是我国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,如“九儿问甲歌”:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,这位公公的长儿的年龄为(　　)
A.23岁　　　　B.32岁　　　　C.35岁　　　　D.38岁
3.已知数列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2),则a100=(　　)
A.5　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
4.过点P(,-2)且倾斜角为135°的直线方程为(　　)
A.3x-y-5=0　　　　　B.x-y+=0　　　　
C.x+y-=0　　　　　D.x+y+=0
5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“黑点”表示原子,两点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图中化学键的个数为(　　)
A.6n　　　　　B.5n+1
C.5n-1　　　　　D.4n+2
6．在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ）
A． B． C．5 D．
7．已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ）
A．81 B．145 C．256 D．273
8.已知数列{an}的通项公式为an=n2-10n+10,下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}从第3项起各项的数值逐渐增大
B.当n=5时,an取得最大值
C.-14是数列{an}中的项
D.数列{an}的图象与f(x)=x2-10x+10(x∈R)的图象相同
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,若S16+S12=S14+S10,则下列结论正确的是(　　)
A.S26=0
B.若S13=-1,则S39=3
C.当n=13时,Sn取得最小值
D.当d>0时,满足Sn<0的n的最大值为25
10.对于直线l:x=my+1,下列说法正确的是(　　)
A.直线l恒过定点(1,0)
B.直线l可能不存在斜率
C.m=时,直线l的倾斜角为60°
D.m=2时,直线l在y轴上的截距为
11．已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列是以2 为公比的等比数列
B．若，则数列是以2为公差的等差数列
C．若，则数列是以1为公差的等差数列
D．若，则数列是以为公差的等差数列
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+4,则an=　　　　.
13.已知数列{an},满足2a1+3a2+4a3+…+(n+1)an=n(n∈N+),则a2 023=　　　　.
14.已知点A(-3,2),B(1,3),直线l过定点(-2,0),且直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有=.设bn=,n∈N+.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)a1a2是不是数列{an}中的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.
16.已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S7=35,a2a4=45.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
18.已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R).
(1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等,求k的值;
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
19．已知等差数列满足，，数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和.
参考答案
1.B　易知a6·a12=9,∴log3a7+log3a11=log3(a7·a11)=log3(a6·a12)=log39=2.
2.C　设第n个儿子的年龄为an岁,由题可知{an}是等差数列,设其公差为d,前n项和为Sn,易得d=-3,则S9=9a1+×(-3)=207,解得a1=35,即这位公公的长儿的年龄为35岁.
3.B　因为a1=-,an=1-(n≥2),
所以a2=1-=1-=5,a3=1-=1-=,
a4=1-=1-=1-=-,
所以数列{an}是以“-,5,”为一个周期的周期数列,
因为100=33×3+1,所以a100=a1=-.
4.D　 因为直线的倾斜角为135°,所以直线的斜率k=tan 135°=-1,所以直线方程为y+2=-(x-),即x+y+=0
5.B　题图中化学键的个数依次为6,11,16,…,后一个图中化学键的个数总比前一个图中化学键的个数多5,所以第n个图中有(5n+1)个化学键.
6．B
【分析】根据韦达定理结合等比中项可求.
【详解】因为是函数的两个零点，
所以是方程的两个根，则，，
所以都为负数，又因为是等比数列，,
所以，则，
故选：B
7．D
【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案.
【详解】因为等比数列，，，
所以成等比数列，
因为，，所以，
所以，
所以.
故选：D
8.C　对于A,由题意得an=(n-5)2-15,结合二次函数的性质可知,数列{an}从第5项起各项的数值逐渐增大,故A错误;
对于B,由an=(n-5)2-15可知,n=5时,an取得最小值,为-15,无最大值,故B错误;
对于C,令an=-14,则(n-5)2-15=-14,解得n=6或n=4,所以-14是数列{an}中的项,故C正确;
对于D,数列{an}的图象是函数f(x)=x2-10x+10(x∈R)的图象中横坐标为正整数的一群孤立的点,
所以数列{an}的图象与f(x)=x2-10x+10(x∈R)的图象不相同,故D错误.
9.ABD　因为S16+S12=S14+S10,
所以S16-S14+S12-S10=a16+a15+a12+a11=2(a14+a13)=0,
即a13+a14=0,所以S26===0,故A正确.
易知S13,S26-S13,S39-S26成等差数列,
所以S39-S26=2(S26-S13)-S13=2×(0+1)+1=3,则S39=3,故B正确.
由a13+a14=0得2a1+25d=0,即a1=-d,
因为Sn=na1+d=n2+n,所以Sn=n2-13dn,易知y=x2-13dx(x∈R)的图象的对称轴方程为x=-=13,
若d>0,则当n=13时,Sn取得最小值,
若d<0,则当n=13时,Sn取得最大值,故C错误.
当d>0时,数列{an}单调递增,又a13+a14=0,所以a13<0,a14>0,则S25=25a13<0,S27=27a14>0,
又因为S26=0,
所以当d>0时,满足Sn<0的n的最大值为25,故D正确.
10.AB　对于A,直线l:x=my+1,令y=0,则x=1,所以直线l恒过定点(1,0),故A正确;
对于B,当m=0时,直线l:x=1,其斜率不存在,故B正确;
对于C,当m=时,直线l:x=y+1,即y=x-,所以直线l的斜率为,倾斜角为30°,故C错误;
对于D,当m=2时,直线l:x=2y+1,令x=0,得y=-,所以直线l在y轴上的截距为-,故D错误.
11．BC
【分析】本题可根据数列的前项和与的关系、等差数列和等比数列的定义，对选项逐一分析即可.
【详解】对于选项A，已知，当时，；
当时，.
当时，，所以数列不是等比数列，A错误.
对于选项B，由，两边取倒数可得，即.
又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确.
对于选项C，由，两边同时除以可得：
，即.
又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确.
对于选项D，由，移项可得，两边同时除以得.
又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，D错误.
故选：BC .
12.答案　
解析　当n=1时,a1=S1=5,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4-(n-1)2-4=2n-1,此时a1=5不成立,
所以an=
13答案　
解析　由2a1+3a2+4a3+…+(n+1)an=n(n∈N+),
得2a1+3a2+4a3+…+nan-1=n-1,n≥2,
两式作差,得(n+1)an=1,n≥2,
所以an=(n≥2),故a2 023=.
14.答案　(-∞,-2]∪[1,+∞)
解析　设C(-2,0),则kAC==-2,kBC==1,由图可知,直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).
15.解析　(1)证明:当n>1,n∈N+时,
= = -2=2+ -=4 bn-bn-1=4,
又∵b1==5,
∴{bn}是首项为5,公差为4的等差数列.
(2)a1a2是数列{an}中的项.
由(1)知bn=5+4(n-1)=4n+1,
∴an==,n∈N+,∴a2=,
又∵a1=,∴a1a2=.
令an==,解得n=11,即a1a2=a11,
∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项.
　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
又a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
17.解析　(1)设数列{an}的公差为d,
由S7=35,a2a4=45,
得解得
所以an=11+(n-1)×(-2)=13-2n.
(2)由(1)得Sn==12n-n2,
令13-2n>0,得n<,
所以当n≤6时,an>0,此时Tn=Sn=12n-n2,
当n>6时,an<0,此时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a6-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn=2×(12×6-62)-(12n-n2)=n2-12n+72.
所以Tn=
18.解析　(1)当k=0时,直线l的方程为y=2,与x轴无交点,不符合题意;
当k≠0时,直线l的方程为y=kx+2+4k,
令x=0,则y=2+4k,
令y=0,则x==--4,
由题意得2+4k=--4,即4k++6=0,
即2k2+3k+1=0,解得k=-或k=-1,经检验,均成立.
综上,k的值为-或-1.
(2)由题可知k>0,由(1)知A,B(0,4k+2),
故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16,
当且仅当4k=,即k=时取等号,故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4.
19【分析】（1）利用等差数列的性质可求得首项与公差，可求得，由已知可得是等比数列.，计算可求得；
（2）利用裂项相消法可求得数列的前项和；
（3）利用错位相减法可求得数列的前项和.
【详解】（1）由，得.
因为，所以，
则公差为，所以，
所以.
因为，所以，则是等比数列.
设其公比为，因为，，所以，，则.
（2）因为，
所以.
（3）因为，所以，
所以，
两式相减得，
所以.

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