资源简介

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）
2025-2026学年高二上期09月测试（二）
数学试题（物理方向）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，平面，若，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（ ）
A．11 B． C． D．
4．袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个黑球，2个白球，3个黄球，从中不放回地随机摸出2个球，能摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，分别为角的对边，已知，则（ ）
A．5 B．8 C． D．
6．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为（　　）

A．22 B．49 C．7 D．
8．已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，其中，为虚数单位，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则事件A与B是对立事件
B．设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件
C．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
D．若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立
11．如图，在正方体中，为的中点（ ）

A．平面
B．
C．若正方体的棱长为1，则点到平面的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
13．某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序.则第一局比赛高一获胜的概率为 .
14．在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据中位数；
(2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率．
16．（15分）正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，求：
(1)直线与所成的角的余弦值；
(2)点到平面的距离.
17．（15分）记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求；
(2)求的最大值.
18．（17分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且.
(1)求直线和平面所成角的正弦值；
(2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值.
19．（17分）已知函数．
(1)若，求的取值范围．
(2)记已知函数有个不同的零点．
①若，求的取值范围；
②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围．河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）
2025-2026学年高二上期09月测试（二）
数学答案（物理方向）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D C A B C C AC BD ABC
12．
13．
14．
15．(1)；
(2)
【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为1计算的值，根据中位数左边的频率和为求解中位数即可；
（2）根据分层抽样的定义可求得在，分别抽取人和人，再利用列举法即可求得概率.
【详解】（1）根据频率分步直方图可知组距为，所有矩形面积和为，
所以，解得；
因为，两组频率之和为，而的频率为，
故中位数在之间，设为，
则，解得，
即该社区居民身体质量指数的样本数据中位数为.
（2）由频率分步直方图可知的频数为，的频数为，
所以两组人数比值为，
按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，
记这组两个样本编号为，这组编号为，
故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：
设事件“从6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组”
则，
故，即从这6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组的概率为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的夹角即可求解线线角，
（2）根据空间向量即可求解点面距离.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则,
所以,
设直线与所成的角为，则，
（2）则，
设平面的法向量为，,
由得取，则，
所以点到平面的距离为
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角；
（2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值.
【详解】（1）由已知，
即，
又在中，，
则，
可得，即，
又由正弦定理可知，
即，
又，
所以；
（2）由（1）可得，，
则，
又在中，，
即，
由，，则，
所以当，即时，取最大值为.
18．(1)
(2)存在，
【分析】（1）首先求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线和平面所成角的正弦值.
（2）设，利用二面角的大小列方程，求得，进而求得.
【详解】（1）分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
∵为的中点，是边长为1的等边三角形，∴是直角三角形，，，，
∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，，
∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形
∵，∴，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∴，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，，，
，
∴直线和平面所成角的正弦值等于；
（2）在棱上存在点，使二面角的大小为.
设
由（1）知，，
，
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
即，
取，，，
∵二面角的大小为，
∴，
即，
整理得，，解得，或（舍去），
所以，，，
所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，.
19．(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据题意，分与代入计算，求解不等式，即可得到结果；
（2）（ⅰ）将问题转化为的实根个数问题，然后求得与时，根的个数，从而可得的范围，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得，再由对勾函数的单调性，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得函数的定义域为．
当时，不等式等价于，显然满足条件；
当时，不等式等价于，即，
解得．
综上，的解集为，
即当的取值范围为时，成立．
（2）（ⅰ）令
原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）．
当时，即为，所以至多一个实根①；
当时，即为，所以至多两个实根②．
由①知，，所以，此时①有一解；
由②知，所以即求的交点个数，
即，为椭圆的一部分，过椭圆的上顶点，
当过点时，；当过点时，；
所以当若或或时，②有一个根或两个相等的根；若或时，②有两个根；
综上所述，当时，的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为，
显然，所以．
易得函数在上单调递减，所以，
所以．
【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数.

展开更多......

收起↑