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2025-2026学年湖北省十堰市丹江口二中高一（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中正确的是( )
A.联合国所有常任理事国(共 5 个)组成一个集合
B.朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合
C. {1,2,3}与{2,1,3}是不同的集合
D.由 1，0，5，1，2，5 组成的集合有六个元素
2.命题“ < 0， 2 + 1 ≥ 0”的否定是( )
A. < 0， 2 + 1 < 0 B. < 0， 2 + 1 < 0
C. ≥ 0， 2 + 1 < 0 D. < 0， 2 + 1 ≥ 0
3.下列表述中正确的是( )
A. {0} = B. {(1,2)} = {1，2}
C. { } = D. 0 ∈
4.命题 ：“ 2 3 4 = 0”，命题 ：“ = 4”，则 是 的( )条件．
A.充分不必要 条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.下列不等式中，可以作为 < 2 的一个必要不充分条件的是( )
A. 1 < < 3 B. < 3 C. < 1 D. 0 < < 1
6.已知全集 = {1,3,5,7,9}， = { | > 4 且 ∈ }， = {3,7,9}，则 ∩ ( ) =( )
A. {1,5} B. {5} C. {1,3,5} D. {3,5}
7.如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ， ， ，全集为 ，则图中阴影部分的区域表示( )
A. ∩ ∩
B. ∩ ∩ ( )
C. ∩ ∩ ( )
D. ∩ ∩ ( )
8 3 1.设集合 = { | ≤ ≤ + 4 }， = { | 3 ≤ ≤ }，且 、 都是集合{ |0 ≤ ≤ 1}的子集，如果把
叫做集合{ | ≤ ≤ }的“长度”，那么集合 ∩ 的“长度”的最小值是( )
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A. 112 B.
2 C. 1 53 3 D. 12
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 = { | 2 5 + 4 = 0}， = { | 1 = 0}，若 ∪ = ，则实数 的值可以是( )
A. 0 B. 14 C. 4 D. 1
10.设全集 = { | < 10, ∈ }，集合 ， ，若 ∩ = {3}， ∩ = {1,5,7}， ∩ = {9}，
则( )
A. = {1,3,5,7} B. = {2,4,6,8}
C. 真子集的个数 31 D. 9 ( ∪ )
11.下列叙述中不正确的是( )
A.“ < 1”是“方程 2 + + = 0 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B.若 ， ， ∈ ，则“ 2 > 2”的充要条件是“ > ”
C. 1“ > 1”是“ < 1”的充分不必要条件
D.若 ， ， ∈ ，则“ 2 + + ≥ 0 成立”的充要条件是“ 2 4 ≤ 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
+ = 2
12.方程 = 5的解集用列举法表示为______．
13.已知集合 = { 2,12,2 2 + 5 }，且 3 ∈ ，则 = ______．
14 .已知集合 = { ∈ | = , ∈ }(1 ≤ ≤ 10, ∈ )中有 8 个子集，则 的一个值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
集合 = { | 2 3 10 ≤ 0}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)当 ∈ 时，若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
设集合 = { | 1 < < 3}，集合 = { |2 < < 2 + }．
(1)若 = 2，求 ∪ 和 ∩ ；
(2)设命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
设集合 = ， = { |0 ≤ ≤ 3}， = { | 1 ≤ ≤ 2 }．
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(1) = 3，求 ∩ ( )；
(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知命题 ： ∈ [1, + ∞)， 2 2 ≤ 0.命题 ： ∈ { |1 ≤ ≤ 3}， + ≥ 0．
(1)写出两个命题 ， 的否定；
(2)若两个命题都是真命题，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
设非空数集 ，对于 中的任意两个元素，
如果满足：①两个元素之和属于 ②两个元素之差属于 .③两个元素之积属于 ④两个元素之商(分母不为
零)也属于 ．
定义：满足条件①②③的数集 为数环(即数环对于加、减、乘运算封闭)；满足④的数环 为数域(即数域
对于加、减、乘、除运算封闭)．
(1)判断自然数集 、整数集 、有理数集 、实数集 、复数集 是不是数环，假如该集合是数环，那么它是
不是数域(无需说明理由)；
(2)若 是一个数环，证明：0 ∈ ；若 是一个数域，证明：1 ∈ ；
(3)设 = { | = + 2 , ∈ , ∈ }，证明 是数域．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{( 7 32 , 2 )}
13. 32
14.4 或 9(写出一个即可)
15.(1)由题意可知， = { | 2 3 10 ≤ 0} = { | 2 ≤ ≤ 5}，且 ，
当 = 时， + 1 > 2 1，
解得 < 2；
2 ≤ + 1
当 ≠ 时，则 + 1 ≤ 2 1，
2 1 ≤ 5
解得 2 ≤ ≤ 3，
综上所述，实数 的取值范围为{ | ≤ 3}．
(2)由 = { | < 2 或 5 < }，且 ∩ = ，则 ，
当 = 时， + 1 > 2 1，
解得 < 2，
当 ≠ 时，由 + 1 ≤ 2 1 + 1 ≤ 2 1 得 2 1 < 2 或 + 1 > 5 ，
解得 或 > 4，
综上所述，实数 的取值范围为{ | < 2 或 > 4}．
16.解：(1)因为 = 2，所以 = { |0 < < 4}，
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所以 ∪ = { | 1 < < 4}， = { |0 < < 3}；
(2)因为 是 成立的必要不充分条件，所以 ，
当 = 时，2 ≥ 2 + ，得 ≤ 0；
2 < 2 +
当 ≠ 时，则 2 ≥ 1 ，等号不能同时取到，
2 + ≤ 3
解得 0 < ≤ 1，
综上，实数 的取值范围是 ≤ 1，即为( ∞,1]．
17.解：(1)当 = 3 时， = { |2 6}， = { | < 2 或 > 6}， ∩ ( ) = { |0 < 2}．
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
所以 ，
当 = 时， 1 > 2 ，即 < 1，满足条件；
1 2
当 ≠ 时， 1 0 ，解得 1 32．2 3
3
综上， 的取值范围是( ∞, 1) ∪ [1, 2 ]．
18.解：(1)因为 ： ∈ [1, + ∞)， 2 2 ≤ 0，
所以非 ： ∈ [1, + ∞)， 2 2 > 0，
因为 ： ∈ { |1 ≤ ≤ 3}， + ≥ 0，
所以 ： ∈ { |1| ≤ ≤ 3}， + < 0；
(2)因为 ： ∈ [1, + ∞)， 2 2 ≤ 0，所以 ≤ 2 2，
又 ≥ 1，故 2 2 ≥ 2，
故 ≤ 2，
命题 ： ∈ { |1 ≤ ≤ 3}， + ≥ 0．
即 ∈ { | ≤ ≤ 3}， ≥ ，又 3 ≤ ≤ 1，
故 ≥ 3．
综上，当两个命题都是真命题时， 的取值范围为{ | 3 ≤ ≤ 2}．
19.解：(1)有理数集 、实数集 、复数集 是数环也是数域；整数集 是数环，不是数域；自然数集 不是
数环；
(2)证明：当 ∈ ，
那么( ) ∈ ，
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所以 0 ∈ ；
当 ∈ ， ≠ 0，
所以( ÷ ) ∈ ，
所以 1 ∈ ．
(3)证明：设 1， 2 ∈ ，
所以 2 = 2 + 2 2， 1 = 1 + 2 1，( 1, 2, 1, 2 ∈ )，
所以 1 + 2 = 1 + 2 + 2 1 + 2 2 = ( 1 + 2) + 2( 1 + 2)，
又因为 1， 2， 1， 2，∈ ，
因此( 1 + 2) ∈ ，( 1 + 2) ∈ ，
因此 1 + 2 ∈ ，所以满足条件①；
1 2 = 1 2 + 2 1 2 2 = ( 1 2) + 2( 1 2)，
又因为 1， 2， 1， 2，∈ ，
因此( 1 2) ∈ ，( 1 2) ∈ ，
因此 1 2 ∈ ，所以满足条件②；
1 2 = 1 2 + 2 1 2 + 2( 1 2 + 2 1)，
又因为 1， 2， 1， 2，∈ ，
因此( 1 2 + 2 1 2) ∈ ，( 1 2 + 2 1) ∈ ，
因此 1 2 ∈ ，所以满足条件③；
1 ÷ 2 =
1 2 2 1 2+ 2( 2 1 1 2) = 1 2 2 1 2 + 2 2 1 1 2
2
，
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
又因为 1， 2， 1， 2，∈ ， 2， 2 ≠ 0，
1 2 2 因此 1
2 ∈ ， 2 1 1 2 ∈ ，
22 2
2 2
2 2 2
2
2
因此 1 ÷ 2 ∈ ，所以满足条件④，
综上所述， 是数域．
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