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5.3函数的单调性
（第二课时）
第五章 函数概念与性质
苏教版2019必修第一册·高一
学习目标
教学重点：会用定义证明函数的单调性
教学难点： 函数的单调区间、单调性等概念的理解
了解函数的单调区间、单调性等概念；
会划分函数的单调区间，判断单调性；
会用定义证明函数单调性。
课程目标
学科素养
数学抽象：函数单调性概念；
逻辑推理：会划分函数的单调区间，判断单调性；
数学运算：用定义证明函数的单调性。
复习回顾
单调性
单调性
最大（小）值
单调递增
单调递减
增（减）函数
当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称是增(减)函数.
如果,当时，都有,那么就称函数在区间 上单调递增.
如果 ,当 时， 都有
新知引入
情境1：科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．
(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为，则在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
新知探究
图象最高点
函数最大值
思考1：我们如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？
当时，取得最大值
当时，图象到达最高点
都有
形
数
你能类似的说出最小值吗？
新知探究
最值 条件(是函数的定义域) 几何意义
最大值()
最小值 (m)
②对于任意，都有
①存在，使得
函数图象上
最高点的纵坐标
②对于任意，都有
①存在，使得
函数图象上
最低点的纵坐标
函数最大（小）值的定义
注：最大、最小值统称最值
新知探究
辨析1：判断对错
(1) 因为不等式总成立，所以是的最小值.( )
(2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
【答案】×，√
辨析2：判断函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别为（ ）
A、 B、 、 、
【答案】
新知探究
对函数最大值和最小值的再理解：
(1)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素（要能取得到）；
(2)最大(小)值定义中的(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有成立，也就是说，函数的图象不能位于直线的上(下)方．
典例精讲
例3：下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间.
解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(－1.5，－2).
因此，当时，函取得最大值，即；
当时，函数取得最小值，即.
函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]；
减区间为[－ 4，－1.5]，[3，5]，[6，7].
典例精讲
例4：求下列函数的最小值：
(1) ； (2)
解：（1）因为，
且当时.
所以函数在时取得最小值－1，
即.
（2）因为对于任意实数，都有≥ ，
且当时＝.
所以函数在时取得最小值，即.
新知探究
思考2：（1）二次函数的最值是什么 常用哪些方法求
二次函数的最值.
当时,;当时, .求二次函数最值的常用方法有公式法、配方法和图象法.
（2）要确定在上的最值,需要先确定什么
先判定该函数在上的单调性，即确定的正负,从而判定何时取得最大值,何时取得最小值.
典例精讲
例5：已知函数的定义域是，. 在区间上，单调递增；在区间上，单调递减，试证明在时取得最大值.
证明：因为在区间上，单调递增，
所以对于任意，都有.
又因为在区间上，单调递减，
所以对于任意，都有.
因此，对于任意都有，即在时取得最大值.
典例精讲
函数的最值与单调性的关系：
（1）若函数在闭区间上单调递减，则在上的最大值为 ，最小值为 .
（2）若函数在闭区间上单调递增，则在上的最大值为 ，最小值为 .
练习巩固
练习1：求下列函数的最值.
（1）; （2） ,;
（3） ,; （4） ,;
练习巩固
变式1：已知函数
(1)在直角坐标系中画出的图象；
(2)根据函数图象写出函数的单调区间和值域.
解：(1) 的图象如图所示：
(2)由的图象知：
函数的单调增区间为：，;
单调减区间为：
值域为：.
练习巩固
练习2：已知函数，求函数的最大值和最小值.
解：，且，则：
由，得，，
于是，即.
所以，函数在区间上单调递减.
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.在时取得最大值，最大值是；在时取得最小值，最小值是.
练习巩固
求函数最值的方法：
1.图象法：函数最大值的几何意义是函数图象最高点的纵坐标,函数最小值的几何意义是函数图象最低点的纵坐标.
2.单调性法：利用单调性求函数的最值的步骤:第一步,利用函数单调性的定义判断函数的单调性；第二步,根据单调性确定函数的最大值、最小值。
练习巩固
变式2-1：函数,则的最大值和最小值分别是_________.
【答案】 ，
变式2-2：设函数,则( ).
.有最大值 有最小值
.既有最大值又有最小值 .既无最大值又无最小值
【答案】
练习巩固
练习3：已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
证明：由且，有：
(
由得，所以
又，所以，所以即
所以函数在区间上单调递增.
练习巩固
练习3：已知函数.
(2)求该函数在[2,4]上的最值.
解：由(1)知：函数在区间上单调递增，
因此函数在区间上单调递增.
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最小值与最大值.
在时取得最小值，最小值是；在时取得最大值，最大值是.
练习巩固
变式3-1：已知函数,求函数的最大值和最小值.
解：由且，有：
由得，所以
则又，所以.
所以即
所以函数在区间上单调递增.
那么
练习巩固
变式3-2：已知函数.
(1)求在[0,1]上的最大值；
解：由二次函数的性质，函数开口向上，且对称轴为.
即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(1)若，即时，函数在处取到最大值，
即
若，即时，函数在处取到最大值，
即
练习巩固
变式3-2：已知函数.
(2)当时，求在闭区间上的最小值.
解：(2)当时，函数，开口向上，且对称轴为.
即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
若，则函数在处取到最大值，即
若，即时，函数在处取到最大值，
即
若，即时，函数在处取到最大值，
即
练习巩固
练习4：某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加
投入100元，已知总收益（单位：元）其中是该仪
器的月产量.（总收益总成本利润）
（1）将利润表示为关于月产量的函数 .
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
解：(1)当月产量为台时，总成本为 元，
故
练习巩固
解：(2)当时，，
当时， ；
当时，单调递减，
.
.
即每月生产300台仪器时,公司所获利润最大，最大利润为25 000元.
（1）将利润表示为关于月产量的函数 .
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
小结
最值 条件(是函数的定义域) 几何意义
最大值()
最小值 ()
②对于任意，都有
①存在，使得
函数图象上
最高点的纵坐标
②对于任意，都有
①存在，使得
函数图象上
最低点的纵坐标
函数最大（小）值的定义
常用的求函数最值的方法：
(1)利用函数图像判断最值. (2)利用函数的单调性判断最值.
感谢聆听
数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学。 ——恩格斯
函数概念是近代数学思想之花。 ——托马斯

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