资源简介

2025年高三《第十一单元双曲线与抛物线》测试卷
一、单选题
1.抛物线经过点，则到焦点的距离为( )
A. B. C. D.
2.若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则的虚轴长为( )
A. B. C. D.
3.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线( )
A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线
4.已知双曲线：的左焦点为，点，在的右支上，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则( )
A. B. C. D.
6.过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线分别交于、两点在的左侧，则( )
A. B. C. D.
8.如图，，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于，两点，，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知抛物线：与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( )
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线为
C. D. 点到抛物线的焦点的距离为
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线交于，两点，则( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 到的距离的最大值为
11.已知为抛物线的顶点，直线交抛物线于，两点，过点，分别向准线作垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若直线过焦点，则，，三点不共线
B. 若直线过焦点，则
C. 若直线过焦点，则抛物线在，处的两条切线的交点在某定直线上
D. 若，则直线恒过点
12.已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则( )
A. B. 时，
C. 以为直径的圆与准线相切 D.
13.已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于，两点，为抛物线上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若垂直轴，且，则抛物线方程为
B. 若的最小值为，则
C. 过点作抛物线的两条切线，两条切线互相垂直
D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右支上一点异于点，的内切圆圆心为则以下结论正确的是( )
A. 直线与的斜率之积为
B. 若，则
C. 以为直径的圆与圆相切
D. 若，则点坐标为
15.已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法中正确的是( )
A. 若直线的斜率为，则
B. 的最小值为
C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为
D. 若点，则周长的最小值为
三、填空题
16.已知双曲线的左右焦点分别为，离心率为，过点的直线交的左支于两点．为坐标原点，记点到直线的距离为，则 ．
17.已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为，则的值等于 ．
18.已知抛物线的焦点为，准线为过且倾斜角为锐角的直线与交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，若四边形的周长等于，则直线的斜率为 ．
19.过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点、、在第一象限，在第四象限，在第三象限，若，且，则抛物线的方程为______________．
四、解答题
20已知抛物线：经过双曲线：的焦点，且的离心率为．
求的方程；
与的个交点围成一个梯形，求该梯形的高．
21.已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为，．
求的离心率
一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上．
22.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线 交于，两点，且为线段的中点．
求抛物线的标准方程；
求直线的方程；
过点作抛物线的两条切线，分别交于，两点，求面积的最小值．
23．已知双曲线与过点，的直线有且只有一个公共点且双曲线的离心率．
求直线和双曲线的方程
设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点求证：A.
24.设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线．
已知圆：为的包络曲线，判断直线：为常数，与集合的关系；
已知的包络曲线为：，直线，设，与的公共点分别为，，记，的焦点为．
证明：是，的等比中项；
若点在圆上，求的最大值．
25．过点的直线与双曲线的右支交于，两点，当轴时，．
求的渐近线方程
记的左顶点为，求的取值范围
若分别以点、为圆心的两圆有公共点在轴上，它们与轴的另一交点分别记作点、，记为坐标原点，当时，求的取值范围．
26.双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．
求双曲线的标准方程
若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和．
(ⅰ)设点的横坐标为，求的取值范围
(ⅱ)设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线的交点在定直线上．
附：双曲线以点为切点的切线方程为
答案和解析
1.【答案】
【解析】抛物线经过点，
，，
则到焦点的距离为．
故选B．
2.【答案】
【解析】由题可知的一条渐近线方程为，
点到该渐近线的距离为，
解得，
故C的虚轴长为．
故选B．
3.【答案】
【解析】根据抛物线的定义可得，故线段的垂直平分线必过点．
故选B．
4.【答案】
【解析】由题意得，，，设双曲线的右焦点为，
则，，
，
当且仅当过时，等号成立．
故选：．
5.【答案】
【解析】
依题意得直线斜率存在，记中点为，
设，
则，，
两式相减得，
，，
，
又，
解得．
故选B．
6.【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
由，则，
不妨设在双曲线的右支上，设，，又，
由双曲线的定义可得，
在中由余弦定理可得，，
即，解得，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】解法一：设直线的方程为：，，，
由，可得，
代入，
可得，
，，
从而．
解法二：抛物线的焦点为，
设过点斜率为的直线的参数方程为
与抛物线方程联立可得，
化简可得，
解得，
由参数的几何意义以及在的左侧可得，
故选A．
8.【答案】
【解析】设双曲线的焦距为，实轴长为，且，，
取的中点，连接，．
如图所示：
有．
同理得，，
成立得，，得．
而点为线段上的任意一点，故，
又因为为的中位线，则，故DB，
又为的中点，且，
所以在中，，得，即，
如下图设内切圆与其三边的切点为、、，
由切线长定理可知，，，
于是可得
，
又内切圆圆心在直线上，且
则，亦即，
故双曲线的离心率是．
9.【答案】
【解析】由题意得双曲线的离心率为，故A正确；
双曲线的渐近线为，故B错误；
因为，有相同焦点，所以，即，故C正确；
抛物线的焦点为，点在上，所以，
或，
所以到的焦点的距离为，故D正确．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】双曲线：的渐近线方程为，即，
直线：过原点，
要使直线与双曲线交于、两点，
应有，即，故A正确；
由对称性可知点、关于原点对称，
则四边形为平行四边形，，
则，故B错误；
设，则，
由题可知，，
，，
则，当且仅当时取等号，
即的最小值为，故C正确；
点到的距离为，
当时，；
当时，，
又，则，
可得；
综上可得，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】依题意直线的斜率不为，设其方程为：，
，，则，．
由，消去，得：，
所以，．
若直线过焦点，则，，
对于，这时，，
因为，所以与共线，从而，，三点共线，A错误；
对于，这时，，，所以，于是，B正确；
对于，这时抛物线在，处的两条切线的方程分别为：和，即和，所以它们的交点为：，它总在抛物线的准线上，所以C正确；
对于，若，则，
所以，即，，这时直线的方程为，可见这时直线恒过点，D正确．
故选BCD．
12.【答案】
【解析】抛物线的焦点，设过点的直线为，设，
联立，可得，，，
则，故A正确；
当时，，解得，
由对称性，不妨设，则，，
显然，故B错误；
，
则弦长，
设的中点为，到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线相切，C正确：
，故D正确，
选ACD．
13.【答案】
【解析】若垂直轴，且，，则抛物线方程为，故A正确；
等于到准线的距离，最小是值为，所以，故B错误；
设切线方程为，代入得
得，所以切线得斜率，所以，两条切线互相垂直，故C正确；
以为直径的圆的圆心为的中点，等于，两点到准线的距离之和，所以圆心到准线的距离，故以为直径的圆与抛物线的准线相切，故D正确
故选：．
14.【答案】
【解析】设，则，，
则，，两式作差得，
故，
故，A错误；
因为，
所以
，
又，
所以，
因为，所以，B正确；
设的中点为，则，，
又，所以，即，
所以以为直径的圆与圆内切，C正确
若，则，所以，
又，解得，，
故内切圆半径，
设圆与三边相切于，，，
则，，，
设，则，，
故，
解得，，
故，故D正确．
故选BCD．
15.【答案】
【解析】由题意得点在抛物线：上，
所以，解得，所以：，则，
设直线：，与联立得，
设，，所以，，
所以，
当时，，故A错误；
，
则，
当且仅当，时等号成立，故B正确；
如图，
过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，
取的中点为，过点作轴的垂线，
垂足为，则，是梯形的中位线，
由抛物线的定义可得，
所以，所以以为直径的圆与轴相切，
所以为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，
又为的中点，所以点的纵坐标为，
又点在抛物线上，所以点的横坐标为，故C正确；
过作垂直于准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号，故D错误．
故选：．
16.【答案】
【解析】令双曲线的半焦距为，由离心率为，得，
取的中点，连接，由，得，则，
连接，由为的 中点，得，，，
因此，即，整理得，
而，所以．
故答案为：
17.【答案】
【解析】由题意知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
当点位于抛物线内时，
如图，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，
则，，
当点三点共线时， 的值最小，
由最小值为，得， 解得；
当点位于抛物线外时，
如图，当三点共线时，
的值最小为，
由最小值为， 得，
得或舍负，
当时，，点在抛物线内，故舍去，
综上，．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】设抛物线的焦点为，准线为．
设过的直线斜率为，则其方程为，联立方程：，
代入得： ．
设两根为，由韦达定理： ，
两点到准线的垂足，．
又，，
所以 ，
由，
代入得：，
简得： ，
因为，圆解得．
故答案为．
19.【答案】
【解析】设直线的方程为
联合抛物线
消去得

依据抛物线的特性和相似三角形，
；，
：：：

联立求得，
，，
抛物线方程．
故答案为．
20.【解析】抛物线：经过双曲线：的焦点，
可得焦点坐标，
所以，的离心率为，
可得，
所以，
所以双曲线方程为：；
由，
消去化简得：，解得，或，
所以该梯形的高：．
21.【解析】依题意得
解得，
所以双曲线的离心率．
由知双曲线的方程为．
直线的斜率，
设平行于的一组直线方程为，
与双曲线交于点，，线段的中点为
由，
得，
即，
，
所以，
因为，，
所以，
即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上．
22.【解析】由题意，得，所以抛物线的标准方程为；
设，，则，，
两式相减可得，所以，
即，所以直线的方程为，即；
显然，切线斜率不为，故设抛物线的切线方程为，
，即，
由，可得
设的方程为，
联立，同理，
，
点到直线的距离，
所以，
令，，
令，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，此时．
23.【解析】由题，直线的方程为，即，
由离心率得，
将代入双曲线方程，得，
由题意，所以双曲线的方程：．
由知，，
所以，．
又，
∽，
故A.
24.【解析】圆心到的距离，
即直线与圆相切，所以；
证明：由，知，的准线方程为，
，设，，
因为，且与的公共点为，
所以是曲线在点处的切线，
其方程为，即，
则，
同理，，则
由得直线的方程为，即，
由，消去得，
则，，
又因为，，
则．
又因为，所以，
故FA是，的等比中项；
由知，，
则，
因为，所以，
则，
又因为，，
则，
从而可得，
解得，
当，时等号成立，
故的最大值为．
25.【解析】当轴时，，故点在上，可得，
故的标准方程为．
故的渐近线方程为
设直线，联立，可得．
当时，与只有一个交点，故．
因为与右支有两个交点，
可得
设，，
根据韦达定理可得，即，
故
易得，
，代入上式解得
故，
令，，设
则，
对于恒成立．
最小值为，最大值为
即的取值范围为
26.【解析】直线与轴交于，所以．
离心率，所以，故．
所以双曲线的标准方程为．
经检验，当一条切线斜率不存在时，不符合题意．
因点
设切线斜率为，切线方程为，与双曲线方程联立得：
．
令．
整理得：，由于，所以且
上式整理得：．
由题意，有两个相异实根，所以，且．
整理得：，解得：．
综上所述，的取值范围是
设，
直线和方程分别为和．
联立得点
又点在直线上，代入整理得：
在直线方程中，令，得点
，故直线方程为：．
设直线与直线交点为，联立两直线方程：
解得：．
设直线与直线交点为，
同理可得：．
由式，比较可得和表达式的分子分母分别相等．
故A，两点重合，所以直线与的交点在定直线上．
第21页，共21页

展开更多......

收起↑