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2025-2026学年广东省中山市濠头中学高一（上）月考数学试卷（三）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {( , )|2 = 0}， = {( , )|3 + = 0}，则 ∩ =( )
A. (0,0) B. {(0,0)} C. {0} D. 0
2.已知 = (2,3)， = ( , 6)，若 与 共线，则 =( )
A. 4 B. 3 C. 3 D. 4
3.已知角 的终边经过点 ( 3,4) ，则 cos( 2 + ) =( )
A. 3 B. 4 C. 3 D. 45 5 5 5
4.设 1， 2， 3是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ∩ = 1， 2 ∈ ， 3 ∈ ，则“ 2// 3”是
“ 1// 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5 3.已知等差数列{ }满足： 3 + 6 + 9 + + 3 = 4 ( + 1)( ∈ +)，则{ }的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 13 2
6.已知圆 的圆心在曲线 = 2( > 0)上，圆 与直线 + 2 + 1 = 0 相切，则圆 面积最小值为( )
A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10
7 ( ) ( ).已知函数 ( )定义域为 ，且满足 ( ) = 6 ( )， ( ) = 2 + 3，若 ( )的图象与 ( )的图象
的交点分别为( 1, 1)，( 2, 2)，…，( , )，则

=1 ( + ) =( )
A. 0 B. C. 2 D. 3
8.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 在正方形 的边界及其内部运动，且满足 1 ≤ 5，
则四面体 1 的体积的最小值是( )
A. 23
B. 43
C. 4 2 23
D. 4 2 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知 = 12 +
3
2 ，复数 满足| | = 1，则( )

A. | | = 1 B. = 1 C. 1 + + 2 = 3 D. | |的最大值为 2
10.函数 ( ) = ( 2 + 1) ，下列说法正确的是( )
A.若函数 ( )在(0, + ∞)上是增函数，则 ≤ 1
B.若函数 ( )在 = 1 处取得极大值，则 < 0
C.若 = 2，则函数 ( )在闭区间[ 2,2]上的最大值为 2
D.若函数 ( ) (0, ) 3在区间 3 上有两个零点，则 的取值范围为(1, 2 )
2 211.已知双曲线 ：4 5 = 1 的右顶点为 ，其左、右焦点分别为 1， 2，过 2的直线交双曲线 的右支于
， 两点，记△ 1 2，△ 1 2内切圆的圆心分别为 1， 2，半径分别为 1， 2，则下列说法正确的是( )
A. △ 1 2 2是锐角三角形 B. ， 1， 2三点共线
C. 1 1 1 = 25 D.
1 2
+ ≥ 2 31 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 2.若在二项式( + ) ( ∈
)的展开式中，有且只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中 2的系数为
______．
13 +2 + .已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 2 7 8 + =
20 11
3 6 11
，则 =______．8
14.如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲
线可看作抛物线 2 = 6 ，则水平光信号入射到抛物线上点 ，经抛物线反射到点 ，反射光线与 轴的交点
为 ，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是边 的中点，△ 的面积为 1，且( + 3 ) = ( +
)( )．
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(1)求 ；
(2)求 ( + )的值．
16.(本小题 15 分)
如图 1，五边形 中， // ， ⊥ ， ⊥ ， = 2 = 2 = 4.将三角形 沿 翻折，
使得平面 ⊥平面 ，如图 2．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ)记直线 与平面 所成角为 .若 = 21，求 的长．7
17.(本小题 15 分)
2 2 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (1,0)，离心率为 3 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 (3,0)且不垂直于 轴的直线与 交于 ， 两点，直线 与 交于点 (异于 )．
( )证明：△ 为等腰三角形；
( )若点 是△ 的外心，求△ 面积的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ( > 0)．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)求证：1 + 1 1 1 2 + 3 + + > ln( + 1) + 2( +1) ( ∈ )．
19.(本小题 17 分)
1
已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为2，
1 1
传球给其他队员的概率均为6；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是4，开始进攻时，
球在乙手中．
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(1)求经过 2 次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；
(2)经过 次传球后，球回到乙手中的概率；
(3)记经过 6 6次传球后，球到甲的手中的概率为 ，求证：满足 > 25的 的个数不少于满足 < 25的 的个
数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.60
13.54
14.9
15.解：(1)由正弦定理及( + 3 ) = ( + )( )，得( + 3 ) = ( + )( )，
整理得 2 + 2 2 = 3 ，
2 2 2
由余弦定理知， = + 3 3，2 = 2 = 2
5
因为 ∈ (0, )，所以 = 6．
(2) 1因为△ 的面积为 1，所以2 =
1
2
1
2 = 1，即 = 4，
取 的中点 ，连接 ，则 + = 2 = ，
所以 ( + ) = = ( ) = = 4 × 32 = 2 3．
16.解：(Ⅰ)证明：因为平面 ⊥平面 ， 平面 ，
平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
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所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(Ⅱ)如图，过点 作 ⊥ 于点 ，则 = ，
在△ 中， = 2 2 = 2 3，
= 所以 = 3，
得 = 2 2 = 1，
过点 作 轴⊥平面 ，建立如图空间直角坐标系 ，
设 = ，则 (0,4,0)， (0,1, 3)， (2,0,0)， (2, , 0)，
所以 = (2, 4,0)， = (2, 1, 3)， = (0, , 0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 + ( 1) 3 = 0
则 ，
= = 0
令 = 3，则 = 0， = 2，
所以 = ( 3, 0,2)，
| = |cos , | = | = 2 3 21所以 | =|| | ，22+( 4)2 7 7
解得 = 4，即 = 4．
= 1
17.(1) 3解：由题意知， = 3 ，解得 = 3， = 2，
2 = 2 2
2 2
故 E 的方程为
3 +
．
2 = 1
(2)( )证明：设直线 的方程为 = ( 3)， ≠ 0， ( 1, 1)，
( 2, 2)，
= ( 3)
联立 2 2 22 2 + 3 2 = 6，得(2 + 3 ) 18 + 27
2 6 = 0，
18 2 2 + = = 27 6所以 1 2 2， 1 2 ， = 324
2 4(2 + 3 2)(27 2 6) = 48(3 2 1) > 0，即 2 < 1，
2+3 2+3 2 3
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且 ≠ 0，
2
⊥ (1, ± 2 ) ± 0 1若 轴，则 3 ，此时直线 的斜率 = 3 =±
3，与 2 < 不符，
1 3 3 3
所以直线 ， 的斜率均存在，
因为 (1,0)，

所以直线 = 1的斜率为 ，直线 的斜率为 =
2
，
1 1 2 1

所以 + 1 2 ( 1 3)( 2 1)+ ( 2 3)( 1 1) = 1 1
+ 2 1
= ( 1 1)( 2 1)
= ( 1)( 1) [2 1 2 4( 1 + 2) + 6]1 2
2 2 2
= 27 6 18 72 12 72
2+12
( 1 1)( 2 1)
[2 2+3 2 4 2+3 2 + 6] = ( 1 1)( 2 1)
2+3 2 = 0，
即 + = 0，
又因为 ， 均在椭圆上，所以由椭圆对称性知， = ，
故△ 为等腰三角形．
( )解：因为△ 为等腰三角形，且 = ，点 是△ 的外心，
所以点 在 轴上，
2
由( ) 18 12 知 1 + 2 = ( 1 + 2 6) = ( 2+3 2 6) = ，2+3 2
9
2 6
所以线段 的中点坐标为( ，2+3 2 , 2+3 2 )
6 1 9
2
所以 中垂线所在直线方程为 ，
2+3 2 = ( 2+3 2 )
2
令 = 0 3 ，则 = ，2+3 2
1 1 3 2
所以△ 面积 = 2 | | | 1 + 2| = 2 |
12 12| |
2+3 2 1| | 2+3 2 | = (2+3 2)2，
12
令 = | | ∈ (0, 3 ]，设 ( ) = =3 (2+3 2)2，
( ) = 12(9
2 2)
则 ′ ，2+3 2
当 0 < < 2时， ′( ) > 0， ( )在3 (0,
2 上单调递增；
3 )
当 > 2时，3 ′( ) < 0， ( )在(
2 , + ∞)上单调递减，3
所以 ( ) ≤ ( 23 ) =
9 2，
16
故△ 面积的最大值为9 2．
16
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18.(1) = 2 ( ) = 2 + 2 ∴ ( ) = 2 2当 时， ， ′ 1 2，
∴ ′(1) = 1，又 (1) = 1，
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 1 = ( 1)，即 + 2 = 0；
2
(2) ∵ ( ) = 2 + ( > 0) ∴ ( ) =
2 1 = +2 ， ′ 2 2 ，
对于方程 2 + 2 = 0， = 4 4 ，
当 = 4 4 > 0，即 0 < < 1 时，方程 2 + 2 = 0 有两个不相等的实数根，
∴ 1 = 1 + 1 , 2 = 1 1 ，且 1 > 2 > 0，
∴当 > 1或 0 < < 2时， ′( ) < 0；当 2 < < 1时， ′( ) > 0，
即函数 ( )在(0,1 1 ), (1 + 1 , + ∞)上单调递减，在(1 1 , 1 + 1 )上单调递增．
当 = 4 4 ≤ 0，即 ≥ 1 时， 2 + 2 ≤ 0， ′( ) ≤ 0，
∴函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减．
综上所述，当 0 < < 1 时，函数 ( )在(0,1 1 ), (1 + 1 , + ∞)上单调递减，在(1 1 , 1 +
1 )上单调递增；
当 ≥ 1 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减．
(3) 1证明：由(2)知，当 = 1 时，函数 ( ) = 2 + 在(0, + ∞)上单调递减，
又 (1) = 0，∴当 > 1 1时， ( ) = 2 + < 0，
即当 > 1 时，2 < 1 ．
∵ +1 > 1，∴ 2
+1 < +1 1 1 +1 = + +1，
即 2 ( + 1) 2 < 1 1 + +1，
∴ 2 2 2 1 < 1 + 12，
2 3 2 2 < 12+
1
3，
2 4 2 3 < 1+ 13 4，

2 ( + 1) 2 < 1 +
1
+1，
累加可得，2 ( + 1) 2 1 < 1 + 1 + 1 + 1 1 1 1 12 2 3 + 3 + + + + +1，
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即 2 ( + 1) < 2(1 + 1 1 1 1 1 1 1 2+ 3 + + ) (1 +1 ) = 2(1 + 2 + 3 + + ) +1，
1 + 1 + 1+ + 1 > ln( + 1) + 所以 2 3 2( +1) ( ∈
)．
19.解：(1)记事件 =“经过 2 次传球并由甲执行投篮”， =“球有经过丙之手”，则
1×1
( | ) = ( ) 6 4 1 ( ) = 1 1 = 3．
2×4
(2)记事件 =“ 次传球后球回到乙手中”， ( ) = ，则 1 = 0，

∵ ( 1 ) = ( 1) ( | 1)，∴ = (1 1) 4，
1 = 1即 5 4 (
1
1 5 )，
{ 1 1 1所以数列 5 }是首项为 5，公比为 4的等比数列，
∴
1
5 =
1 1 1 1
5 ( 4 ) ，即 = 5
1 ( 1 ) 15 4 ．
(3)证明：事件 =“ 次传球后球到甲手中”，事件 =“ 次传球后球不在甲和乙手中”
则 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 1) ( | 1)，
∴ 1 1 = 2 1 + 4 (1 1 1)，
∴ 1 1 1 1 = 4 1 + 4 1 + 4 = 4 1 +
1 1 2 3
20 ( 4 ) + 10，两边同时乘以( 4)
，
∴ ( 4) = ( 4) 1 + 3 ( 4) + 4 1 10 5，
设 = ( 4) ，则有 =
3 4
1 + 10 ( 4) + 5，而 1 = 4 1 = 2，
24
5 [1 ( 4)
1]
叠加得 = + +
4
1 5 5 ( 1) =
24 1 20 +6
25 ( 4) 25 ，
∴ = 6 20 +6 25 25( 4) ，
显然，当 为奇数时， >
6 6
25，当 为偶数时， < 25，
因此 6 6 > 25的 的个数不少于满足 < 25的 的个数．
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