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2025-2026学年重庆市两江育才中学高一（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 5 ≤ ≤ 2}，则( )
A. 3 ∈ B. 2 ∈ C. 0 D. 1
2.“ > 5”的一个必要而不充分条件( )
A. 1 > 4 B. > 3 C. < 6 D. > 100
3.用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧
拉图”，后来，英国逻辑学家约翰韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”.则图中的阴影部
分表示的集合为( )
A. ∩ ∩ B. ( ) ∩ ∩
C. ∩ ( ) ∩ D. ∩ ∩ ( )
4 4.已知 < 0，则 + 4 有( )
A.最大值 0 B.最小值 0 C.最大值 8 D.最小值 8
5.已知 < 1，则 ， 2，1 的大小关系为( )
A. > 2 > 1 B. 2 > 1 > C. 1 > 2 > D. 2 > > 1
6.集合 = { | = 3 2, ∈ }， = { | = 3 + 1, ∈ }， = { | = 6 + 1, ∈ }之间的关系是( )
A. = B. = C. = D. =
7.若集合 = {0,1}，则集合 = {( , )| ∈ ， ∈ }的真子集的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 15
8.由无理数引发的数学危机已知延续带 19 世纪，直到 1872 年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，
才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集 划分为两个非空
的子集 与 ，且满足 ∪ = ， ∩ = ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，则称( , )
为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割( , )，下列选项中不可能恒成立的是( )
A. 没有最大元素， 有一个最小元素 B. 没有最大元素， 也没有最小元素
C. 有一个最大元素， 有一个最小元素 D. 有一个最大元素， 没有最小元素
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)下列命题为真命题的是( )
A.“ ∩ ≠ ”是“ ”的必要不充分条件
B.“ > 2”是“ > 1”的充分不必要条件
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C.“ ≠ 0”是“ ≠ 0”的充分条件
D.“ 2 + 2 + 2 = + + ”是“ = = ”的充要条件
10.对于实数 ， ， ，下列命题正确的是( )
A.若 > ，则 > B.若 2 > 2，则 >
C.若 < < 0，则 2 > > 2 D. > > 0 +2 > 若 ，则 +2
11.设正实数 ， 满足 + = 1，则( )
A. 1 1有最大值为2 B.
2 + 2有最小值为2
C. 4 +
1
有最小值为 5 D. + 1 + + 2有最大值为 2 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.命题“ ∈ ， 2 2 < 0”的否定是______．
13.已知集合 = {12, 2 + 4 , + 10}，5 ∈ ，则 = ______．
14.已知 > 0， > 0，2 = + + 4，则 + 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知全集 = { | ≤ 4}，集合 = { | 2 < < 3}， = { | 3 ≤ ≤ 2}，求：
(1) ∩ ；
(2)( ) ∪ ．
16.(本小题 15 分)
求下列各式的最值
(1)已知 0 < < 13，求 = (1 3 )的最大值．
(2)当 < 1 4时，求 + 1的最大值．
17.(本小题 15 分)
某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中
一面可以利用原有的墙(足够长)，其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形 ．
(1)若每块田地的面积为 24 2，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长 和宽 各为多
少？
(2)现有 40 长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长 和宽 各为多少？
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18.(本小题 17 分)
已知命题 ： ∈ ， 2 + 1 > 0；命题 ： ∈ ， 2 + 4 + 1 < 0．
(1)若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 ， 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知全集 = ，集合 = { ∈ | 2 4 + = 0}， = { ∈ |( 3)( 2 + 3 4) = 0}．
(1)若 = 5 时，存在集合 使得 ，求出这样的集合 ；
(2)是否存在集合 ， 满足( ) ∪ = ？若存在，求实数 的取值范围；若不能，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∈ ， 2 2 ≥ 0
13.1
14.4
15.解：(1) ∵ = { | 2 < < 3}， = { | 3 ≤ ≤ 2}，
∴ ∩ = ( 2,2]．
(2) = ( ∞, 2] ∪ [3,4]，
( ) ∪ = ( ∞,2] ∪ [3,4]．
16.(1) 0 < < 1根据 3，可得 1 3 > 0，
3 (1 3 ) ≤ 3 +(1 3 ) = 1因为 2 2，
所以 3 (1 3 ) ≤ 1 14，当且仅当 3 = 1 3 ，即 = 6时，取等号，
1
可知：当 = 6时，函数 = (1 3 )
1 1 1
的最大值为3 × 4 = 12；
(2)根据 < 1，可得 ( 1) > 0，
4
所以 + 1 = 1+
4
1 + 1 = [ ( 1) + (
4
1 )] + 1 ≤ 2 (1 )
4
1 + 1 = 3，
1 = 4 4当且仅当 1 ，即 = 1 时，取等号，所以 + 1的最大值为 3．
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17.(1)设 长为 米， 宽为 米，由每块田地面积 = 24，篱笆总长为 4 + 6 ，
由 4 6 = 24 = 576，根据基本不等式 4 + 6 ≥ 2 4 6 = 2 576 = 48，
当且仅当 4 = 6 且 = 24 时取等号，解得 = 6， = 4．
(2)设 长为 米， 宽为 米，由篱笆总长 4 + 6 = 40，即 2 + 3 = 20，
= 20 3 1将 2 代入每块田地面积 ，得 = 2 (20 3 ) =
3 22 + 10 ，
10
当 = 3时， 最大，此时 = 5．
18.(1) 1 1由题意可知 = 16 2 4 > 0，解得 > 2或 < 2，
1 1
故 的取值范围为{ | > 2或 < 2 }；
(2)命题 为真命题时，
若 = 0 时，显然满足，
当 ≠ 0 时，则 = 2 4 < 0，解得 0 < < 4，
综上可得 为真命题时，0 ≤ < 4；
1 1 1
当命题 真 假时， 2 ≤ ≤ 2，解得 0 ≤ ≤
0 ≤ < 4 2
；
> 1 1或 < 1
当命题 假 真时， 2 2得 < 2或 ≥ 4 < 0 或 ≥ 4
所以当命题 ， 中恰有一个为真命题时，
实数 1的取值范围为{ | < 2或 ≥ 4 或 0 ≤ ≤
1
2 }.
19.(1)当 = 5 时， = { ∈ | 2 4 + 5 = 0} = ，
= { |( 3)( 2 + 3 4) = 0} = { 4,1,3}，
又因为 ，
故集合 共有如下 6 个：{ 4}，{1}，{3}，{ 4,1}，{ 4,3}，{1,3}．
(2)由( ) ∪ = 可得 ，结合 = { 4,1,3}，
当 = ，即( 4)2 4 < 0， > 4 时， ，满足题意，
当 ≠ 时，
①若 2 4 + = 0 有两个不相等的实数根，又 ，
结合韦达定理可得两根 1 + 2 = 4，故 = {1,3}，此时 = 1 2 = 3，
②若 2 4 + = 0 有两个相等的实数根，即( 4)2 4 = 0，则 = 4，
此时 = { ∈ | 2 4 + 4 = 0} = {2}，不满足题意，
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综上，实数 的取值范围为{3} ∪ (4, + ∞)．
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