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宣汉县土黄中学2025年高二上期第一次月考
数学试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一、单选题
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：
若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是
A．324 B．522 C．535 D．578
4．若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．已知菱形的边长为，，将沿折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8．正方体的棱长为2，的中点分别是P，Q，直线与正方体的外接球O相交于M，N两点点G是球O上的动点则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法错误的是（ ）（多选）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
10．如图，函数的部分图象，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．将图象向右平移后得到函数的图象
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）

A．
B．三棱锥的体积为
C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为
D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若是定义在上的奇函数，则实数的值是 ．
13．求函数的定义域
14．如图，四面体的体积为，且满足，则 .
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人．
(1)求；
(2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数）
(3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率．
16．（本小题满分15分）如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点；
(1)求证：平面
(2)求证：平面
(3)若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上
17．（本小题满分15分）已知，，且.设函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若在锐角中，，边，求周长的取值范围.
18．（本小题满分17分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．
(1)证明：；
(2)若，，，求三棱柱的高；
(3)在（2）的条件下，求三棱柱的表面积．
19．（本小题满分17分）如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面.
(1)是线段上的点，若当时，平面，求的值；
(2)若点在平面内的射影落在线段上.
①是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
②当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离.
试卷第4页，共5页
《宣汉县土黄中学2025年高二上期第一次月考
数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B D C B A
题号 7 8 9 10 11
答案 A A ABC ACD ABD
12．
13．
14．
15．（1）由频率分布直方图可，解得，
因为运动时长在小时的员工有48人，所以，解得，
即，．
（2）由（1）知，
则平均数为，
所以该公司员工一周运动时长的平均数约为4.24．
（3）设选中的员工一周运动时长不少于4小时为事件，选中的员工一周一周运动时长在区间内为事件，则，
，
，
所以在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，
此人一周运动时长在区间内的概率．
16．（1）证明：取PB 中点M，连接MF、AM，
M、F分别为PB、PC的中点，，
，点在上，，
，且，
四边形AEFM为平行四边形，，
平面PAB，平面PAB，平面PAB.
（2）证明：，，，
平面，，
，平面PAB，平面PAB，
平面PAB，
平面PAB，，
，M为PB的中点，，
，平面PBC，平面PBC，平面PBC，
，平面PBC.
（3）证明：平面，，
，，
，，，，
，，，
在同一个球面上，且，
为球心，球心在平面ABCD上.
17．（1）因为，所以，即，
所以；
（2）因为，所以，
因为，所以.
又，由正弦定理知，，得，
所以，，
所以的周长为
.
因为，所以，
则，
所以，所以周长的取值范围为.
18．（1）证明：连接，则为与的交点，
∵侧面为菱形，∴．
∵平面，∴．
∵，平面 , 平面 ∴平面．
∵平面，∴．
（2）解：作，垂足为，连接，作，垂足为，如图．
∵，，，平面,平面,
∴平面，∴．
∵，，平面,平面,
∴平面．∵，∴为等边三角形．
∵，∴，∵，∴，
由，且，可得，
∵O为的中点，∴到平面的距离为，
∴三棱柱的高为.
（3）解：易知，，
，，
，
∴，，，．
∴表面积为．
19．（1）如图作，因平面，平面，
则平面.又平面，，
则平面平面.结合平面平面，
平面平面，则，又由题可得，
则四边形为平行四边形，从而，又，
则；
（2）①假设存在点，使得平面.
因平面，则.因为点在平面内的射影，
则平面，又平面，则.
因，平面，则平面.
因平面，则.因，则.
即M与D点重合时，满足题意，此时；
②设，因为点在平面内的射影，则平面，
又平面，则，则为直角三角形，PB为斜边，则.
则，
其中，，
则，
当且仅当，即时取等号.则此时，.
从而可得，，.
则为等腰直角三角形，.
设点到平面的距离为，
则，
则.
答案第14页，共14页

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