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2025-2026学年四川省泸州市泸县五中高二（上）9月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班级有 40 名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这 40 名学生中抽取 5 人进行家访，则同
学 被抽到的可能性为( )
A. 140 B.
1
4 C.
1
5 D.
1
8
2.某学校有高中学生 1500 人，初中学生 1000 人.学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设
计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了 100 人，则在
高中学生中抽取了( )
A. 150 人 B. 200 人 C. 250 人 D. 300 人
3.某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为 001，002，003，…，499，500 的 500 盒口罩中，利用
随机数表(以下摘取了随机数表中第 12 行至第 13 行)选取 10 个样本进行抽检，选取方法是从随机数表第
12 行第 5 列的数字开始由左向右读取，则选出的第 3 个样本的编号为( )
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62
A. 116 B. 148 C. 445 D. 222
4.若数据 1 + 、 2 + 、 、 + 的平均数是 5，方差是 4，数据 3 1 + 1、3 2 + 1、 、3 + 1 的平
均数是 10，标准差是 ，则下列结论正确的是( )
A. = 2， = 6 B. = 2， = 36 C. = 4， = 6 D. = 4， = 36
5.若 ， ∈ {2,3,4,8,9}，则log 为整数的概率为( )
A. 3 3 8 225 B. 10 C. 25 D. 5
6.已知 ， ， 为随机事件， 与 互斥， 与 互为对立，且 ( ) = 0.2， ( ) = 0.7，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9
7.已知 1， 2是两个不共线的向量，且向量 1 + 3 2， 1+ 2同向，则 + 2 的最小值为( )
A. 12 B. 6 C. 2 6 D. 6
8.已知在三棱锥 中， ⊥ ， = = 2， = = 2 2 5 ，二面角 的大小为 6，则
三棱锥 的外接球的表面积为( )
A. 56 B. 58 3 3
C. 105 124 4 D. 9
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了 100 份，将
成绩分成 6 组，第 1 组为[40,50)，第 2 组为[50,60)，…，第 6 组为[90,100]，画出如图所示的频率分布直
方图，则( )
A. = 0.01
B.第 6 组有 15 个样本
C.从第 5，6 组中，按组别分层抽取 6 个样本，则应在第 5 组抽取 3 个样本
D.估计参赛选手成绩的中位数在[70,80)内
10.从装有除颜色外完全相同的 2 个红球(编号为 1，2)和 2 个白球(编号为 3，4)的口袋内任取 2 个球，甲
表示事件“恰有 1 个白球”，乙表示事件“恰有 2 个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事
件“取到了编号为 1 的小球”，则( )
A.甲和乙为互斥而不对立事件 B.丙和丁为互斥而不对立事件
C. ( 1甲) = 3 D.甲和丁为独立事件
11.如图所示，已知点 为圆台 1 2下底面圆周上一点， 为上底面圆周上一点，且 1 = 1， 1 2 =
2 2, 2 = 2，则( )
A. 14 2 该圆台的体积为 3
B.直线 与直线 1 2所成角最大值为3
C.该圆台有内切球，且半径为 2
D. 2直线 1与平面 1 2所成角正切值的最大值为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 2 .已知 是实数，并且3+ 是实数，则 = ______．
13.已知一组数据 7，7，8，9，10，11，13，16，则这组数据的 80%分位数是______．
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14.直角梯形中， = = 2， = 3， = 1，点 ， 为 ， 的中点， 在 边上运动(包含端
点)，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应
聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为 0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为 0.6、0.7，两人是否通
过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立．
(1)试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大；
(2)求甲、乙两人中仅有 1 人被该公司录取的概率．
16.(本小题 15 分)
已知△ 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 2 = (2 + ) + (2 + ) ，
(1)求角 的大小；
(2)设点 为 上一点， 是△ 的角平分线，且 = 3， = 6，求 的长度．
17.(本小题 15 分)
2025 年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路
攀升，于 2025 年 2 月 6 日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至 2025 年 5 月 5 日，总票房(含
港澳台和海外票房)已超 158.24 亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影.某
影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了 100 名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直
方图．
(Ⅰ)求频率分布直方图中 的值与样本中年龄的第 85 百分位数．
(Ⅱ)从样本中年龄为[30,40)，[40,50)，[50,60)的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人，则
年龄在[40,50)中的观众应抽取多少人？
(Ⅲ)若样本中年龄在[0,10)的观众年龄的平均数是 6，方差是 2，年龄在[50,60)的观众年龄的平均数是 57，

方差是 5，求这两组样本总的平均数 和方差 2．
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18.(本小题 17 分)
如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 是菱形，∠ = 60°．
(1)证明： ⊥平面 1 1 ；
(2)若 = 1 = 2，求二面角 1的正切值；
(3)若点 在 1 上， 1 ∩ 1 = ，直线 与平面 1 交于点 ，求证： 1 // ．
19.(本小题 17 分)
如图，在△ 中， = ， = 2 ，点 为 和 的交点，设 = ， = ．
(1)已知 = ， = ，求 ， 的值；
(2)若| | = 4，| | = 6， 与 的夹角为 60°，求 △ ；

(3)若| | = 2 | |，| | = 1， 在边 上， ⊥ ， 为 ， 的夹角， ∈ [ 3 , 2 ]，求| 的取值范围． |
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 32
13.13
14.[ 1 32 , 2 ]
15.(1)甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为 0.8、0.5，
乙通过笔试和面试的概率分别为 0.6、0.7，
两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立，
记甲被公司录取为事件 ，乙被公司录取为事件 ，
则 ( ) = 0.8 × 0.5 = 0.4， ( ) = 0.6 × 0.7 = 0.42，
∵ ( ) < ( )，
∴乙被该公司录取的概率更大．

(2)由(1)可知， ( ) = 1 0.4 = 0.6， ( ) = 1 0.42 = 0.58，
故甲、乙两人中仅有 1 人被该公司录取的概率：

= ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0.4 × 0.58 + 0.6 × 0.42 = 0.484．
16.(1)由正弦定理及 2 = (2 + ) + (2 + ) ，可知 2 2 = 2 2 + 2 2 + 2 ，
故 2 = 2 + 2 + ，结合余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，则 = 2 = 1，故 2，因为 ∈ (0, )，
2
所以 = 3；
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(2)利用面积法： = + ，
1 = 2 =
1
2 6 3 120°
1
， = 2 60° =
1
， 2 60°，
1 3 1 3 1 3
代入得：2 6 3 2 = 2 6 2 + 2 3 2 ，解得 = 2．
17.(Ⅰ)根据频率分布直方图的性质可知，10 × (0.010 + + 0.022 + 0.025 + 0.020 + 0.005) = 1，解得 =
0.018，
由频率分布直方图可知[0,40)的频率为 0.75，而[40,50)的频率为 0.2，
所以第 85 百分位数在区间[40,50)内，设第 85 百分位数为 ，
则 0.75 + 0.02( 40) = 0.85，解得 = 45，
所以第 85 百分位数为 45；
(Ⅱ)由频率分布直方图可知年龄为[30,40)，[40,50)，[50,60)的三组观众频率之比为：5：4：1，
所以按比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人，则年龄在[40,50)中的观众应抽取 4 人；
(Ⅲ)由频率分布直方图可知[0,10)的频率为 0.1，[50,60)的频率为 0.05，

= 6 × 0.1 0.05所以 0.1+0.05 + 57 × 0.1+0.05 = 23，
2 = 0.10.1+0.05 × [2 + (6 23)
2] + 0.05 20.1+0.05 [5 + (57 23) ] = 581．
18.解：(1)证明：因为 1 ⊥底面 ， 底面 ，
所以 ⊥ 1，
因为菱形 ，所以 ⊥ ， ∩ 1 = ，
， 1 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1D.
(2)设 ∩ = ，连接 1 ，
因为 1 平面 1 1 ，
所以 ⊥ 1 ，且 ⊥ ， ∩ 1 = ，
所以∠ 1是二面角 1的平面角，
因为∠ = 60°， = ，
所以△ 是正三角形，
所以 = 2 = 2 ， = 2 2 = 22 12 = 3，
因为 1 ⊥ ，
在直角三角形中，tan∠ = 1 = 2 31 ， 3
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所以二面角 的正切值为2 31 ．3
(3)证明：如图，连接 1 1， 1 ，
因为 1 1// // ， 1 1 = = ，
所以四边形 1 1 是平行四边形，
所以 1 // 1，又因为 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ，
同理 1 1//平面 1 ，
因为 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1， 1 平面 1 1 ，
所以平面 1 //平面 1 1 ，
因为平面 1 ∩平面 1 = ，平面 1 ∩平面 1 1 = 1 ，
所以 1 // ．
19.(1)因为 = ， = ， = ， = 2 ，
2
所以 = ( ) = ( 3
)，
= ( ) 12
= ( 1 2 )，
所以 = (1 ) + 2 1 3 ， = ( 2 ) + ，
1 = 1 = 3
所以 2 42 ，解得 ；
3 = =
1
2
(2)因为| | = 4，| | = 6， 与 的夹角为 60°，
1 1所 △ = 2 sin∠ = 2 × 4 × 6 × 60° = 6 3，
由(1)知， = 3 ，4
= 2 = 23
，
3 3 2 3 2
所以 △ = 4 △ = 4 × 3 △ = 4 × 3 × 6 3 = 3 3；
(3)由(1) 1知， = 2 ，
所以 = 1 12 = 2 (
) = 12 (
1 ) = 1 1 = 1 2 2 4 2
14 ，
设 = ， 与 的夹角为 ，其中 ∈ [ 3 , 2 ]，

则 = + = + = + ( )
= 1 1 + ( 2 4 ) = (
1
4 ) + (
1
2 ) ，
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而 = = ，因为 ⊥ ，
= [( 1 ) + ( 1所以 4 2 )
] ( ) = 0，
2
即( 14 )
2 + ( 12 )
+ (2 34 )
= 0，
1
所以( 4 ) × 2
2 + ( 1 2 32 ) × 1 + (2 4 ) × 2 × = 0，
= 10 3所以 8 3，
因为 ∈ [ 3 , 2 ]，所以 ∈ [0,
1
2 ]，
0 ≤ 10 3 1所以 8 3 ≤ 2，又 0 ≤ ≤ 1，
1
解得4 ≤ ≤
3
10，
| | 1 3
所以 的取值范围为[ , ]．
| | 4 10
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