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第十单元 平面向量、复数
(120分钟　150分)
考情分析
高考对接点 平面向量和复数是高考必考知识点，一般以客观题的形式考查
单元疑难点 平面向量数量积的应用，复数的几何意义
滚动知识点 解三角形
典型情境题 10、14
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知z=-i，则zi-=
A.+i B.--i C.-+i D.-i
2.已知向量a在单位向量b方向上的投影向量为b，则b·(5a-3b)=
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.已知复数z=m(1-i2025)+2+3i2023(m∈R)，若在复平面内，z对应的点位于第二象限，则m的取值范围为
A.(-∞，-2) B.(-3，-2) C.(-∞，-3) D.(-2，+∞)
4.已知向量a=(cos θ，1)，b=-，-sin θ，则“θ=”是“a∥b”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若向量a，b满足|a-b|=1，|a+2b|=，a⊥b，则|b|=
A. B. C. D.
6.如图，在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使=3，=5，设线段AN与BM交于点P，记=a，=b，则
A.=a+b B.=a+b C.=a+b D.=a+b
7.已知复数z在复平面内对应的点为Z，且z满足|z+3i|-|z-3i|=2，点A(4，0)，点B(0，-3)，则△ABZ的周长的最小值为
A.10 B.11 C.12 D.13
8.设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，(sin B+sin C)b=(sin A+sin C)(a-c)，且=2，=2，△ABC的面积为，则-=
A.- B.-2 C.-2 D.-
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z1，z2，z3均不为0，以下命题为真命题的是
A.=+
B.若z1z2=z2z3，则z1=z3
C.若z1，z2互为共轭复数，则=1
D.若|z1|=|z2|，则=
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin C=2(2-cos A)，c=2，若△ABC为锐角三角形，则a的取值可能为
A.2 B. C. D.
11.已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，a·b=-1，=，则|c|的取值可能为
A.1 B.2 C.3 D.4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数z=，则z10=　　　　.
13.已知在复数范围内关于x的方程x2-px+q=0(p，q均为实数)的两根为x1，x2，其中x1=2-i(i为虚数单位)，则pq=　　　　，x2=　　　　.
14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度.余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度是通过计算向量，的夹角的余弦值来评估他们的相似度，记作cos(A，B)，余弦距离为1-cos(A，B).已知点P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，R(cos α，-sin α)，O为坐标原点，若tan αtan β=3，则Q，R的余弦距离的取值范围是　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知复数z=a+bi(a，b∈R)，|z|=2，z的实部比虚部小4.
(1)设z1=2-z2+i53，求z1；
(2)若a>0，b>0，函数f(x)=ln ，求f(x)的值域.
16.(15分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=4.
(1)当·=-6时，求△ABC的外接圆的面积；
(2)若·>0，求△ABC的周长的取值范围.
17.(15分)已知向量a=(sin(3π-α)，1)，b=2，sin-α，c=(2，1).
(1)求|c-b+a|的最小值，并求此时α的值；
(2)若α∈0，，求a·b的取值范围.
18.(17分)在△ABC中，AB=2，AC=4，AD=，如图所示.
(1)若3=2，求cos ∠BAC；
(2)若AD是∠BAC的平分线，求边BC的长.
19.(17分)在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B=sin C.
(1)证明：△ABC为钝角三角形.
(2)求的最小值.
参考答案
1.C
【解题分析】因为z=-i，所以=+i，所以zi-=i-i2--i=-+i.
2.B
【解题分析】向量a在b方向上的投影向量为|a|cos·=·=b，又|b|=1，所以a·b=，所以b·(5a-3b)=5a·b-3b2=0.
3.C
【解题分析】z=m(1-i2025)+2+3i2023=m(1-i)+2-3i=m+2-(m+3)i，由复数z在复平面内对应的点位于第二象限，得即m<-3.
4.A
【解题分析】若θ=，则a=，1，b=-，-，可知a∥b，充分性成立；若a∥b，则sin θcos θ=，即sin 2θ=1，所以θ=+kπ，k∈Z，必要性不成立.故“θ=”是“a∥b”的充分不必要条件.
5.D
【解题分析】因为a⊥b，所以a·b=0.又因为|a-b|=1，所以a2+b2-2a·b=1，所以a2+b2=1　①.因为|a+2b|=，所以a2+4b2+4a·b=3，所以a2+4b2=3　②，由②-①，得|b|=.
6.D
【解题分析】由题意知B，P，M三点共线，A，P，N三点共线，设=t(t>0)，=s(s>0)，
所以=+=+=b+a　①，
同理，可得=a+b　②.
又因为a，b不共线，
所以由①②得解得所以=a+b.
7.C
【解题分析】设复数z=x+yi(x，y∈R)，由依题意得-=2，根据双曲线的定义可知点Z的轨迹为以B'(0，3)，B(0，-3)为焦点，实轴长为2的双曲线的上支，所以|ZB|=|ZB'|+2.△ABZ的周长为|ZA|+|ZB|+|AB|=|ZA|+|ZB'|+2+5，当A，Z，B'三点共线时，|ZA|+|ZB'|取得最小值，且最小值为|AB'|=5，故△ABZ的周长的最小值为12.
8.A
【解题分析】因为(sin B+sin C)b=(sin A+sin C)(a-c)，
所以由正弦定理可得(b+c)b=(a+c)(a-c)，整理得b2+c2-a2=-bc.
再由余弦定理可得cos A==-，因为A∈(0，π)，所以A=.
又S△ABC=bcsin A=，所以bc=4.
因为=2，=2，所以D为BC边的中点，E为线段AD的中点，
所以-=(-)=(+)·(-)=(-)·(-)=·=||||cos A=-.
9.ABC
【解题分析】对于A，由复数的运算性质，可知A项正确；
对于B，由z1z2=z2z3，得z2(z1-z3)=0，因为z2≠0，所以z1=z3，故B项正确；
对于C，由z1，z2互为共轭复数，得|z1|=|z2|，从而=1，故C项正确；
对于D，不妨设z1=1-i，z2=1+i，则=-2i≠=2i，故D项错误.
10.AD
【解题分析】因为asin C=2(2-cos A)，c=2，所以asin C=c(2-cos A)，
由正弦定理得sin Asin C=sin C(2-cos A)，因为sin C≠0，
所以sin A+cos A=2，即sinA+=1，因为A∈0，，所以A=.
如图所示，AB⊥BC1，AC2⊥BC2，
因为△ABC为锐角三角形，所以点C在线段C1C2上(不包含C1，C2)，易知BC2=，BC1=2，所以a的取值范围为(，2).
11.BC
【解题分析】设=a，=b，因为|a|=1，|b|=2，a·b=-1，
所以a·b=|a||b|cos ∠AOB=-1，解得cos ∠AOB=-，所以∠AOB=.
设=c，因为a-c=-=，b-c=-=，=，
所以∠ACB=，即∠ACB+∠AOB=π，所以O，A，B，C四点共圆.
如图所示，点C在优弧上(不包含A，B)，显然当CO是直径时，|c|最大.
在△AOB中，由余弦定理得|AB|==，
故该圆的直径为==，结合圆的图形，可知1<|c|≤.
12.-32i
【解题分析】z==1-i，所以z2=(1-i)2=-2i，z10=(-2i)5=-32i.
13.20　2+i
【解题分析】(方法一)根据实系数一元二次方程的虚根以共轭复数的形式成对出现，可知x2=2+i.由根与系数的关系，可知p=x1+x2=4，q=x1x2=(2-i)(2+i)=5，所以pq=20.
(方法二)因为x1=2-i为实系数一元二次方程x2-px+q=0的一个根，
所以(2-i)2-p(2-i)+q=0，化简得3-2p+q+(p-4)i=0，又因为p，q为实数，
所以解得所以pq=20.
因为x1+x2=p=4，所以x2=4-x1=2+i.
14.，
【解题分析】=(cos α，sin α)，=(cos β，sin β)，=(cos α，-sin α)，
因为tan αtan β==3，所以sin αsin β=3cos αcos β，
由题意得cos(P，Q)==cos αcos β+sin αsin β=4cos αcos β∈[-1，1]，
则cos αcos β∈-，，cos(Q，R)=cos αcos β-sin αsin β=-2cos αcos β∈-，，
故Q，R的余弦距离1-cos(Q，R)的取值范围是，.
15.【解题分析】(1)由题意得解得或
所以z=2+6i或z=-6-2i，
当z=2+6i时，z1=2-z2+i53=2(2-6i)-(2+6i)2+i=36-35i，
当z=-6-2i时，z1=2(-6+2i)-(-6-2i)2+i=-44-19i.
综上所述，z1=36-35i或z1=-44-19i. 6分
(2)由(1)知当a，b∈R*时，a=2，b=6，则f(x)=ln ，
因为>0，所以x>6或x<-2.
当x>6时，=1-<1，所以f(x)当x<-2时，=1->1，所以f(x)>f(1)=0，
所以函数f(x)的值域是(-∞，0)∪(0，+∞). 13分
16.【解题分析】(1)由·=-6，得||||cos(π-C)=-abcos C=-6，解得cos C=，因为C∈(0，π)，所以C=.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=32+42-2×3×4×cos =13，所以c=，由正弦定理得2R===，所以R=，
所以△ABC的外接圆的面积S=πR2=π. 8分
(2)因为·>0，所以C∈，π，所以cos C=<0，
所以a2+b2-c2<0，c2>a2+b2=25，所以5所以1217.【解题分析】(1)a=(sin α，1)，b=(2，cos α)，则c-b+a=(sin α，2-cos α)，
则|c-b+a|==，
当cos α=1时，|c-b+a|取得最小值，此时|c-b+a|=1，α=2kπ，k∈Z. 6分
(2)a·b=2sin α+cos α=sin(α+φ)，tan φ=，不妨设φ∈0，，
因为α∈0，，所以α+φ∈φ，+φ.设θ=α+φ∈0，，
故原式转化为f(θ)=sin θ，θ∈φ，+φ，易知函数f(θ)在0，上单调递增.
若θ=φ，则tan θ=tan φ=，则sin θ=，f(θ)=1，
若θ=φ+，则sin θ=sin(φ+)=，f(θ)=×=+，
故f(θ)∈1，+，即a·b∈1，+. 15分
18.【解题分析】(1)在△ABC中，3=2，所以=，
所以=+=+=+-=+，
两边平方得=++·，
将AB=2，AC=4，AD=代入上式，可得7=++cos ∠BAC，
解得cos ∠BAC=. 8分
(2)因为AD为∠BAC的平分线，所以可设∠BAD=∠CAD=θ，θ∈0，，
由S△ABC=S△ABD+S△ACD，得AB×ACsin 2θ=AB×ADsin θ+AC×ADsin θ，
得8sin θcos θ=3sin θ，因为θ∈0，，所以cos θ=，
所以cos 2θ=2cos2θ-1=，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos 2θ=22+42-2×2×4×=，
所以BC=. 17分
19.【解题分析】(1)在△ABC中，cos B=sin C>0，所以B∈0，.
又sin C=sin(A+B)，
所以sin(A+B)=cos B=sin-B，
因为0所以A+2B=或A=(舍去)，
所以C=π-(A+B)=π-(A+2B)+B=+B>，
所以△ABC是钝角三角形. 8分
(2)由(1)知A+2B=，则A=-2B∈0，，可得0由正弦定理得==
==
==32cos2B+-42≥4-42=6，
当且仅当16cos2B=，即cos2B=时，等号成立，因为0

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