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沪科版·八年级上册
第3课时 等腰(边)三角形的判定
【学习目标】
1．领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力；
2．能够运用等腰三角形与等边三角形判定方法解答相关问题．
新课导入
我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？
等腰三角形的性质定理：
定理 等腰三角形的两个底角相等.
新课探究
A
B
C
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
已知：在△ABC 中，∠B =∠C.
求证：AB = AC.
A
B
C
证明：作 AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，
又∵∠B =∠C，AD = AD，
∴△ADB ≌ △ADC（AAS），
∴AB = AC.
D
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为：等角对等边.
A
B
C
几何语言：
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB = AC（等角对等边）
∵∠1 =∠2，
∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为两角都不是在同一个三角形中.
判断：
等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？
等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的判定定理：
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
定理 等腰三角形的两个底角相等.
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
思考
A
B
C
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形
证明：∵∠B =∠A = 60° ，
∴AC = BC（等角对等边）.
∵∠B =∠C = 60°，
∴AC = AB ，
∴AC = AB = BC .
（2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
证明： ①若 AB ＝AC，∠A ＝60°，
则∠B = ∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB＝AC＝BC
（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
A
B
C
证明： ②若AB＝AC，∠B＝∠C = 60°，
则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB＝AC＝BC
（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
A
B
C
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
判断下列三角形是否为等边三角形.
不确定
（1）
5
5
4
（2）
5
5
5
（3）
60°
60°
（4）
60°
（5）
5
5
60°
（6）
5
5
60°
定义 性质 判断
等腰三角形 有两条边相等的三角形 等边对等角 等角对等边
三线合一
等边三角形 三条边都相等的三角形 等边三角形的三个内角都相等，且等于60° （另也有三线合一性质） 三个角都相等的三角形是等边三角形
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
三角形的边、角有这么多特点，那直角三角形可能还有什么特点呢？
如图，在Rt△ABC中，∠BCA =90°，如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢
C
B
A
30°
小组活动：
1.量一量、
拼一拼、
折一折
2.大胆假设
____________________________________________
3.证明
在Rt△ABC中，若∠A=30°，则BC＝ AB.
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
∠A = 30°. 求证：BC = AB．
证明：延长 BC 到 D，使 CD = BC，连接AD,
易得△ACB≌ △ACD.
∴AD=AB，∠BAC= ∠DAC =30°
∴∠BAD =60°. ∴△ABD是等边三角形.
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.）
∴BD=AB.
A
B
C
D
= AB．　　
∴ BC = BD 　　
30°
证明：如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD= AB=BD.
∵∠BCA =90°，且∠A =30°，
∴∠B= 60°.
∴△CBD为等边三角形，
∴BC=BD= AB.
C
B
A
30°
D
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
30°
例4 一艘船上午 8:00 从 A 处出发，以 10 n mile/h的速度向正北航行，从 A 处测得一礁石 C 在北偏西 30°方向上.这艘船上午 10:00 到达 B 处，并测得礁石 C 在北偏西 60° 的方向上.
（1）画出礁石 C 的位置；
（2）求出 B 处到礁石 C 的距离；
（3） 这艘船继续向正北方向航行多少海里
与礁石C的距离最小？
A
东
北
.B
.C
30°
60°
.F
解：(2)∵ ∠FBC =∠BAC +∠ACB，
∠BAC = 30°， ∠FBC = 60°，
∴ ∠ACB = 30°，即∠BAC =∠ACB，
∴ BC = AB ( 等角对等边)，
即 BC = AB = 10×(10 - 8) = 20 (n mile).
答：B 处到礁石 C 的距离为 20 n mile.
A
东
北
.B
.C
30°
60°
.F
A
东
北
.B
.C
30°
60°
.F
(3)如图,过点C作CF⊥AB，垂足为点F.
∠CBF =60°，∠CFB =90°，
∴∠ BCF=30°.
∴BF= BC =10(n mile).
答：这艘船继续向正北方向航行10n mile与礁石C的距离最小.
课后习题
1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
答：∠1=72°，∠2=36°；
等腰三角形△ABC,△ABD,△BCD.
2.如图，AC和BD相交于点O，AB//DC,OA=OB.
求证：OC=OD.
证明：OA=OB,∴∠A=∠B,
又AB//DC,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∴∠C=∠D,
∴OC=OD.
1.已知：如图，AB与CD交于点P，CP=PD，∠A=42°，∠CPB=138°，∠B = 69°.求证：AC=PB.
解：由题意可知，
∠APC=∠BPD=180°－138°=42°=∠A,
∴AC=CP,
∠D=180°－ 42°－ 69°=69°，
∴PD=PB ,
又CP=PD, ∴AC=PB.
2.在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=45°，BC=10 cm．求AD的长.
A
B
C
D
解：由题意可知AD是等腰△ABC底边的高和中线，
∴BD=CD,∠ADB=90°，
∴∠1=180 ° － 45 ° － 90 ° =45°= ∠B
∴AD=BD= BC=5cm.
证明：取AB中点E，连接CE.
由题意可知BC= AB=BE,
又∠B=180 ° － 90 ° － 30 °=60°.
∴△BCE是等边三角形.
∴CD是△BCE的中线.
∴BD=DE= BE= AB.
3.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=30°.求证：BD= AB.
E
1.本节课学习了哪些内容？这些内容在应用方面你有什么看法？
2.你能将等腰三角形的知识体系简单地说一说吗？
3.本节课中，你与同伴交流，学到了同伴的哪些优点？
课堂小结
1.从教材习题中选取完成练习；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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