资源简介

*2.4　一元二次方程根与系数的关系
学习目标
【知识与技能】
掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．
【过程与方法】
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养观察思考、归纳概括能力、在运用关系定理解决问题的过程中，培养解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想．
【学习重点】
根与系数的关系及运用．
【学习难点】
定理的发现及运用．
学习过程
一、情景导入，初步认知
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的值是由a，b，c来决定的．除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
二、思考探究，获取新知
1．探究规律
先填空，再找规律：
一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2－2x＝0 0 2 2 0
x2＋3x－4＝0 －4 1 －3 －4
x2－5x＋6＝0 2 3 5 6
2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，猜想x1＋x2＝－，x1·x2＝.
3．你能证明你的猜想吗？
当Δ≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根，分别为
x1＝，x2＝.
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝.
【归纳结论】当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即x1＋x2＝－，x1·x2＝.这个关系通常被称为韦达定理．
三、运用新知，深化理解
1．教材P47例1、例2.
2．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的
(1)平方和；(2)倒数和．
分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求．
解：设方程的两个根分别为x1，x2，
那么x1＋x2＝－，x1x2＝－.
(1)∵(x1＋x2)2＝x＋2x1x2＋x，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝.
(2)＋＝＝3.
3．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．
分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求．
解：设方程的另一个根是x1，那么2x1＝－，
∴x1＝－.
又∵x1＋2＝－，∴k＝－7.2．2　一元二次方程的解法
2．2.1　配方法
学习目标
【知识与技能】
1．知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程．
2．学会用直接开平方法解形如(ax＋b)2－k＝0(k≥0)的方程．
3．理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，进一步体会化归的思想方法．
【过程与方法】
通过探索配方法的过程，体会转化的数学思想方法．
【学习重点】
运用配方法解一元二次方程．
【学习难点】
把一元二次方程转化为形如(x＋n)2＝d(d≥0)的过程．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．根据完全平方公式填空：
(1)x2＋6x＋9＝(　　)2；
(2)x2－8x＋16＝(　　)2；
(3)x2＋10x＋(　　)2＝(　　)2；
(4)x2－3x＋(　　)2＝(　　)2.
2．前面已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)．由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？
3．你会解方程x2＋6x－16＝0吗？你会将它变成(x＋m)2＝n(n为非负数)的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？
二、思考探究，获取新知
1．解方程：x2－2 500＝0.
问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？
把方程写成x2＝2 500.
这表明x是2 500的平方根，根据平方根的意义，得x＝或x＝－，
因此，原方程的解为x1＝50，x2＝－50.
【归纳结论】一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．
2．解方程：(2x＋1)2＝2.
解：根据平方根的意义，得
2x＋1＝或2x＋1＝－，
因此，原方程的根为
x1＝，x2＝－.
思考：通过上面的例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？
【归纳结论】对于形如(x＋n)2＝d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解．
直接开平方法的步骤：把方程变形成(x＋n)2＝d(d≥0)，然后直接开平方得x＋n＝和x＋n＝－，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解．
3．解方程：x2＋4x＝12.
解：x2＋4x＋4－4＝12，x2＋4x＋4＝16，(x＋2)2＝16，
x＋2＝±4，x1＝2，x2＝－6.
【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x2＋4x＝12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．
4．如何用配方法解方程25x2＋50x－11＝0呢？
解：25x2＋50x－11＝0，x2＋2x＝，x2＋2x＋1＝，
(x＋1)2＝，x＋1＝±，∴x1＝－，x2＝.
思考：通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？
【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；
(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
(3)若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P33例3、P34例4.
2．解方程．
(1)x2－10x＋24＝0；
解：移项，得x2－10x＝－24.
配方，得x2－10x＋25＝－24＋25，
由此可得(x－5)2＝1，x－5＝±1，∴x1＝6，x2＝4.
(2)(2x－1)(x＋3)＝5；
解：整理，得2x2＋5x－8＝0.移项，得2x2＋5x＝8.
二次项系数化为1，得x2＋x＝4，
配方，得x2＋x＋＝4＋，
＝，由此可得x＋＝±，
x1＝，x2＝.
(3)3x2－6x＋4＝0.
解：移项，得3x2－6x＝－4.
二次项系数化为1，得x2－2x＝－.
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，(x－1)2＝－.
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．2．2.3　因式分解法
学习目标
【知识与技能】
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选择简单的方法．
【过程与方法】
通过比较、分析、综合，培养分析问题解决问题的能力．
【学习重点】
用因式分解法解一元二次方程．
【学习难点】
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．
学习过程
一、情景导入，初步认知
复习：将下列各式分解因式．
(1)5x2－4x；　
(2)x2－4x＋4；　
(3)4x(x－1)－2＋2x；　
(4)x2－4；　　
(5)(2x－1)2－x2.
二、思考探究，获取新知
1．解方程：x2－3x＝0.
可用因式分解求解：方程左边提取公因式x，得x(x－3)＝0.
由此得x＝0或x－3＝0，即x1＝0，x2＝3.
与公式法相比，哪种更简单？
【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
2．用因式分解法解下列方程．
(1)x(x－5)＝3x; (2)2x(5x－1)＝3(5x－1)；
(3)(35－2x)2－900＝0.
3．你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．
4．选择合适的方法解下列方程：
(1)x2＋3x＝0；　
(2)5x2－4x－3＝0; 　
(3)x2＋2x－3＝0.
5．如何选择合适的方法解一元二次方程呢？
【归纳结论】公式法、配方法适用于所有一元二次方程．因式分解法(有时需要先配方)适用于所有一元二次方程．
总之，解一元二次方程的基本思路：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．
三、运用新知，深化理解
1．用因式分解法解下列方程：
(1)5x2＋3x＝0；
(2)7x(3－x)＝4(x－3)．
分析：(1)左边＝x(5x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－4(x－3)＝0，找出(3－x)与(x－3)的关系．
解：(1)因式分解，得x(5x＋3)＝0，
得x＝0或5x＋3＝0，x1＝0，x2＝－.
(2)原方程化为7x(3－x)－4(x－3)＝0，
因式分解，得(x－3)(－7x－4)＝0，
得x－3＝0或－7x－4＝0，
x1＝3，x2＝－.
2．选择合适的方法解下列方程：
(1)2x2－5x＋2＝0；
(2)(1－x)(x＋4)＝(x－1)(1－2x)．
分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x)与(x－1)的关系用因式分解法．
解：(1)a＝2，b＝－5，c＝2，
b2－4ac＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，
x＝＝，x1＝2，x2＝.
(2)原方程化为(1－x)(x＋4)＋(1－x)(1－2x)＝0，
因式分解，得(1－x)(5－x)＝0，
x－1＝0或x－5＝0，x1＝1，x2＝5.2．2.2　公式法
学习目标
【知识与技能】
1．经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练．
2．会用公式法解简单系数的一元二次方程．
【过程与方法】
通过由配方法推导求根公式，培养推理能力和由特殊到一般的数学思想．
【学习重点】
求根公式的推导和公式法的应用．
【学习难点】
理解求根公式的推导过程．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．用配方法解方程：
(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.
2．由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，能不能对一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)使用这些步骤，然后求出解x的公式？
二、思考探究，获取新知
1．用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
分析：前面具体数字已做了很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导出一般方程的解的公式了．
【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝(b2－4ac≥0)，
就可求出方程的根；
(2)这个式子叫作一元二次方程的求根公式；
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法．
【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：
(1)将a，b，c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；
(2)式子b2－4ac≥0是公式的一部分．
2．学习课本P36例5(1)(2)了解用公式法解一元二次方程，在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程化为一般形式，注意a，b，c的符号．
3．完成P37例6.
4．你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式求解．
三、运用新知，深化理解
1．用公式法解方程．
2x2＋3＝7x.
分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a，b，c的值、再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．
解：移项，得2x2－7x＋3＝0，
a＝2，b＝－7，c＝3，b2－4ac＝25，
∴x＝，x1＝3，x2＝.
2．某数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了问题．若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
分析：要使它为一元二次方程，必须满足m2＋1＝2，同时还要满足m＋1≠0.
解：存在．m＝1，两根为x1＝1，x2＝－.第2章　一元二次方程
2．1　一元二次方程
学习目标
【知识与技能】
探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识．
【过程与方法】
在探索问题的过程中感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．
【学习重点】
一元二次方程的概念．
【学习难点】
如何把实际问题转化为数学方程．
学习过程
一、情景导入，初步认知
问题1：已知一矩形的长为200 cm，宽150 cm.在它的中间挖一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的，求挖去的圆的半径x cm应满足的方程．(π取3)
问题2：据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆，求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程．你能列出相应的方程吗？
二、思考探究，获取新知
1．对于问题1：
找等量关系：
矩形的面积－圆的面积＝矩形的面积×，
列出方程：200×150－3x2＝200×150×.　①
对于问题2：
找等量关系：两年后的汽车拥有量＝前年的汽车拥有量×(1＋年平均增长率)2，
列出方程：75(1＋x)2＝108.②
2．能把①②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？
①化简，整理得x2－2 500＝0，③
②化简，整理得25x2＋50x－11＝0，④
3．讨论：方程③④中的未知数的个数和次数各是多少？
未知数个数都是1，次数都为2
【归纳结论】如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数且a≠0)，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．
4．指出方程③④中的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：方程③：二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为－2 500.
方程④：二次项系数为25，一次项系数50，常数项为－11.
三、运用新知，深化理解
1．见教材P27例题．
2．下列方程是一元二次方程的有________(选填序号)．
①x2＋－5＝0；　　②x2－3xy＋7＝0；
③x＋＝4; ④m3－2m＋3＝0；
⑤x2－5＝0; ⑥ax2－bx＝4.
【答案】⑤
3．已知(m＋3)x2－3mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是________．
分析：一元二次方程二次项的系数不等于零．故m≠－3.
【答案】m≠－3
4．把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
解：原方程化为一般形式：5x2＋8x－2＝0.
其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2.2．3　一元二次方程根的判别式
学习目标
【知识与技能】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证．
【过程与方法】
经历思考、探究过程，发展归纳总结能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
【学习重点】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证．
【学习难点】
从具体题目来推出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的b2－4ac的情况与根的情况的关系．
学习过程
一、情景导入，初步认知
前面已经学会了怎么解一元二次方程，怎样快速地判断方程根的情况呢？
二、思考探究，获取新知
1．问题：什么是求根公式？它有什么作用？
2．观察求根公式x＝回答下列问题：
(1)当b2－4ac>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有几个根？
(2)当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有几个根？
(3)当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有几个根？
3．综上所知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况是由b2－4ac来判断的．
【归纳结论】我们把b2－4ac叫作一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示．即Δ＝b2－4ac.
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即x1＝，x2＝.
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
三、运用新知，深化理解
1．已知方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实数根，则p与q的关系是______．
【答案】p2－4q＝0
2．若方程x2＋px＋q＝0的两个根是－2和3，则p，q的值分别为______．
【答案】－1，－6
3．判断下列方程是否有解：
(1)5x2－2＝6x；　　　(2)3x2＋2x＋1＝0.
分析：演算或口算出b2－4ac，从而判断是否有根．
解：(1)有．　(2)没有．
4．不解方程，判定方程根的情况．
(1)16x2＋8x＝－3；　　　(2)9x2＋6x＋1＝0；
(3)2x2－9x＋8＝0; (4)x2－7x－18＝0.
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2－4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：(1)化为16x2＋8x＋3＝0，
这里a＝16，b＝8，c＝3，
b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0，
∴方程没有实数根．
(2)a＝9，b＝6，c＝1，b2－4ac＝36－36＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
(3)a＝2，b＝－9，c＝8，
b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(4)a＝1，b＝－7，c＝－18，
b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
5．若关于x的一元二次方程(a－2)x2－2ax＋a＋1＝0没有实数根，求ax＋3>0的解集(用含a的式子表示)．
分析：要求ax＋3>0的解集，就是求ax>－3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a－2)x2－2ax＋a＋1＝0没有实数根，即(－2a)2－4(a－2)(a＋1)<0就可求出a的取值范围．
解：∵(a－2)x2－2ax＋a＋1＝0没有实数根．
∴(－2a)2－4(a－2)(a＋1)＝4a2－4a2＋4a＋8<0，
∴a<－2.
∵ax＋3>0即ax>－3，∴x<－，
∴所求不等式的解集为x<－.2．5　一元二次方程的应用
第1课时　一元二次方程的应用(1)
学习目标
【知识与技能】
会用列一元二次方程的方法解应用题．
【过程与方法】
经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程，体会一元二次方程的应用价值．
【学习重点】
建立一元二次方程模型解决一些代数问题．
【学习难点】
把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题．
学习过程
一、情景导入，初步认知
列方程解应用问题的步骤是什么？
①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤答．
二、思考探究，获取新知
1．某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率．若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变)．
分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是今年的使用率×(1＋年平均增长率)2＝后年的使用率．
解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程40%×(1＋x)2＝90%.解得x1＝50%，x2＝－2.5.
根据题意可知x＝50%.
答：这两年秸秆使用率的平均年增长率为50%.
2．运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析数量关系设未知数→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P50例2.
2．一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元．如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得________．
【答案】121×(1－x)2＝100
3．某小区2023年屋顶绿化面积为2 000 m2，计划2025年屋顶绿化面积要达到2 880 m2.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？
分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解：设这个增长率是x，根据题意得
2 000×(1＋x)2＝2 880.
解得x1＝20%，x2＝－220%(舍去)．
答：这个增长率是20%.
4．某电脑公司2024年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2026年经营总收入要达到2 160万元，且计划从2024年到2026年，每年经营总收入的年增长率相同，则2025年预计经营总收入为多少万元？
解：设每年经营总收入的年增长率为a.
600÷40%×(1＋a)2＝2 160.
解得a1＝0.2，a2＝－2.2，(不符合题意，舍去)
∴每年经营总收入的年增长率为0.2，则2025年预计经营总收入为
600÷40%×(1＋0.2)＝1 800(万元)．
答：2025年预计经营总收入为1 800万元．
第2课时　一元二次方程的应用(2)
学习目标
【知识与技能】
会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释．
【过程与方法】
进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养用数学解决问题的意识．
【学习重点】
应用一元二次方程解决实际问题．
【学习难点】
从实际问题中建立一元二次方程的模型．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．复习列方程解应用题的一般步骤：(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；(3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解方程：求出所给方程的解；(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；(6)作答：根据题意，选择合理的答案．
2．说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？
二、思考探究，获取新知
1．如图，在一长为40 cm，宽为28 cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364 cm2，求截去的四个小正方形的边长．
(1)审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
(2)确定本题的等量关系：盒子的底面积＝盒子的底面长×盒子的底面宽；
(3)根据题意设未知数；
(4)根据等量关系列方程；
(5)求出所列方程的解；
(6)检验所求方程的解的合理性；
(7)根据题意作答．
【提示】设未知数和作答时都不要漏写单位，是多项式时要加括号再写单位．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动，同时点Q沿CB边从点C向终点B以2 cm/s的速度移动，且当其中一点达到终点时，另一点也随之停止移动．点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9 cm2
解：设x s后，可使△PCQ的面积为9 cm2.由题意得
AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，
CQ＝2x cm，则(6－x)·2x＝9.
整理，得x2－6x＋9＝0，
解得x1＝x2＝3.
∴P，Q同时出发，3 s后可使△PCQ的面积为9 cm2.
三、运用新知，深化理解
1．在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是(　　)
A．x2＋130x－1 400＝0
B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1 400＝0
D．x2－65x－350＝0
【答案】B
2．如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，
横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横路宽为3x m，则可列方程为________．
分析：若设小路的横路宽为3x m，则纵路宽为2x m，利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下(目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路)，则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(30－4x)(20－6x)m2，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程．
【答案】(30－4x)(20－6x)＝×30×20
3．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2
(2)能否使所围矩形场地的面积为810 m2，为什么？
解：(1)设所围矩形ABCD的长AB为x m，则宽AD为(80－x)m.
依题意，得x·(80－x)＝750.
即x2－80x＋1 500＝0，解得x1＝30，x2＝50.
∵墙的长度不超过45 m，∴x2＝50不合题意，应舍去．
当x＝30时，(80－x)＝×(80－30)＝25.
∴当所围矩形的长为30 m、宽为25 m时，能使矩形的面积为750 m2.
(2)不能．
∵由x·(80－x)＝810得x2－80x＋1 620＝0.
又∵b2－4ac＝(－80)2－4×1×1 620＝－80＜0，
∴上述方程没有实数根．
∴不能使所围矩形场地的面积为810 m2.

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