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15.3.2 等边三角形第1课时 过关练 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图，等边的边长为3，为上一点，且．在上取一点，使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是等边三角形，直线，点P在直线上运动，当点P与的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线上会发出警报的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（ ）
①；②；③连接，则平分
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是的三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形
③腰上的高也是中线的等腰三角形 ④三个外角都相等的三角形
⑤有一个角为的等腰三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（ ）
A．100海里 B．海里 C．70海里 D．60海里
7．如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．3 B． C．7 D．8
二、填空题
8．如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么 °．
9．如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是 ．
10．如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么 ．
11．在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法：
①当时，一定为等边三角形；
②当时，一定为等边三角形；
③当是等腰三角形时，一定为等边三角形；
④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形．
其中正确的说法是 ．（填序号）
12．如图，是等边中边上的点，，，则的度数为 ．

13．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ．
三、解答题
14．已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．
(1)求证：；
(2)求的度数．
15．已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
(3)求证：；
16．已知，在中，，点D为的中点，，且．求证：是等边三角形．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B C D C A C
1．C
【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、等边对等角是解题的关键．根据为等边三角形，可得，根据，，求出，根据三角形外角的性质求出，即可得出答案．
【详解】解：∵为等边三角形，
，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
2．B
【分析】由折叠的性质得到，根据外角的定义得到，即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】由折叠可知，
又， 是等边三角形，
，
．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据三角形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可．
【详解】解：根据垂直平分线的性质及等边三角形的性质可知，
直线上会发出警报的点P有：、、的垂直平分线与直线的交点，共3个．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，证明是解题的关键．
根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断③．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，故①正确；
，
，
又，
，
即，故②正确；
，
和边上的高相等，
即点B到和边的距离相等，
平分，故③正确；
综上可知，正确的结论有3个，
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查等边三角形的判定，熟记等边三角形的定义是解题关键．根据等边三角形的定义判断即可．
【详解】解：一个三角形有两个角是，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为，即有两个角是的三角形是等边三角形，故正确；
一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故错误；
有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等边三角形，故正确；
一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角形，故正确；
有一个角是的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为，即该三角形为等边三角形，故正确．
综上，正确的有，共个．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了等边三角形的判定，方位角的表示，先由题意得出，，（海里），再结合平行线的性质得，然后得证是等边三角形，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，
∴，，（海里），
∵，
∴，
即，
∵（海里），
∴是等边三角形，
则海里．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵等边三角形的边长为7，
∴，
∵点E，F是边的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长是：，
故选：C．
8．85
【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
∴；
∵平行光线，
∴，
∴，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等边对等角，由等边三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可推出，则，由等边对等角可得，则，据此可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵垂直平分，
∴．
∴
．
则，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．①②④
【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，由，，得．①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形；②当时，由，得，进而即可判定；③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形；④当是等腰三角形时，得为等边三角形，进而得，即可判断为等腰三角形．从而即可得解．
【详解】解：∵，，
∴．
①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形；
②当时，，
∴，
∴为等边三角形；
③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形；
④当是等腰三角形时，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
综上，正确的说法是①②④．
故答案为：①②④．
12．/度
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，而，，即可根据证明，得，，所以是等边三角形，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：是等边三角形，点在上，
，，
在和中，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案．
【详解】解：连接，，如图所示，
∵，，
∴，
∵，分别是，的中垂线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质结合题意可得，由角平分线的定义可得，利用得出；
（2）证明，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得，最后再由全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
15．(1)见详解
(2)
(3)见详解
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键．
（1）由等边三角形的性质可证得，可求得；
（2）由（1）中的全等得，结合，和三角形内角和定理即可得出；
（3）由全等三角形的性质得出，证出，证明，可得；
【详解】（1）证明：∵均为等边三角形，
，
，
即，
在与中，
，
，
．
（2）解：由（1）知：，
，
，，
．
（3）证明：∵，
，
，
，
，
在与中，
，
，
．
16．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，只要证明，推出，又，即可推出，进而证明．
【详解】证明：点D是中点，
．
在和中
，
，
，
，
，
是等边三角形．
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